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  1. Use a fórmula 10.2 . 7 para mostrar que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
  2. r = f θ       ,       a ≤ θ ≤ b

    (Onde f ' é contínua e 0 ≤ a < b ≤ π ) em torno do eixo polar é

    S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ r 2 + d r d θ 2   d θ

  3. Use a fórmula na parte ( a ) para calcular a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata

r 2 = cos ⁡ 2 θ

Em torno do eixo polar.

Passo 1

a )

Primeira coisa: a fórmula 10.2 . 7 é a fórmula da área de uma superfície obtida pelo giro de uma curva parametrizada em função do parâmetro t . Ela diz o seguinte:

S = ∫ a b 2 π y d x d t 2 + d y d t 2 d t  

Beleza, mas, savemos que se

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ = f θ sin ⁡ θ

Podemos escrever essa fórmula em termos de θ :

S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ  

Passo 2

Derivando x e y em relação a θ , usando a regra do produto:

d x d θ = d r d θ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ

d y d θ = d r d θ sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ

Elevando ao quadrado:

d x d θ 2 = d r d θ 2 cos 2 ⁡ θ - 2 r d r d θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

d y d θ 2 = d r d θ 2 sin 2 ⁡ θ + 2 r d r d θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora substituindo na formula:

S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ d x d θ 2 + d y d θ 2 d θ  

S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ d r d θ 2 cos 2 ⁡ θ - 2 r d r d θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ + d r d θ 2 sin 2 ⁡ θ + 2 r d r d θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ d θ  

S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ d r d θ 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ + d r d θ 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ d θ  

S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ d r d θ 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ  

S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ d r d θ 2 + r 2 d θ  

Igualzinho o enunciado queria!!!

Passo 4

b )

Agora vamos usar a fórmula pra calcular a área de uma superfície real!

Nossa superfície é gerada pela rotação da curva

r 2 = cos ⁡ 2 θ

Que é essa curva aqui

Queremos a área da superfície gerada quando essa curva gira em torno do eixo polar, que é esse eixo horizontal aí né..

Se você reparar, a curva cruza a origem quando intersecta a ela mesma, assim

r 2 = cos ⁡ 2 θ = 0

2 θ = π 2

θ = π 4

Assim, para obter a área da superfície, vamos girar o pedaço da curva que vai de θ = 0 até θ = π 4 e depois multiplicar isso por 2. Com isso teremos a área da superfície inteira gerada pela rotação da curva, beleza?

Passo 5

Bora lá então.

r 2 = cos ⁡ 2 θ

Derivando implicitamente em relação a θ :

2 r d r d θ = - 2 sin ⁡ 2 θ

d r d θ = - 2 sin ⁡ θ 2 r = - sin ⁡ 2 θ r

Elevando isso ao quadrado:

d r d θ 2 = sin 2 ⁡ 2 θ r 2 = sin 2 ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ

Passo 6

Substituindo na integral:

S = ∫ a b 2 π r sin ⁡ θ d r d θ 2 + r 2 d θ  

S = ∫ 0 π / 4 2 π cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ sin 2 ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ d θ  

S = 2 π ∫ 0 π / 4 cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ sin 2 ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ d θ  

S = 2 π ∫ 0 π / 4 cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ 1 cos ⁡ 2 θ d θ  

S = 2 π ∫ 0 π / 4 sin ⁡ θ d θ  

S = 2 π - cos ⁡ θ π 4 0

S = 2 π - cos ⁡ π 4 + cos ⁡ 0

S = 2 π - 2 2 + 1

S = 2 π 2 - 2 2

Assim, a área total da suprficie é:

S t = 2 × S = 4 π 2 - 2 2

S t = 2 × S = 2 π 2 - 2

Resposta

b )

S t = 2 π 2 - 2

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