Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 55
- Use a fórmula para mostrar que a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
(Onde é contínua e ) em torno do eixo polar é
- Use a fórmula na parte para calcular a área da superfície gerada pela rotação da lemniscata
(Onde é contínua e ) em torno do eixo polar é
Em torno do eixo polar.
Passo 1
Primeira coisa: a fórmula é a fórmula da área de uma superfície obtida pelo giro de uma curva parametrizada em função do parâmetro . Ela diz o seguinte:
Beleza, mas, savemos que se
Podemos escrever essa fórmula em termos de :
Passo 2
Derivando e em relação a , usando a regra do produto:
Elevando ao quadrado:
Passo 3
Agora substituindo na formula:
Igualzinho o enunciado queria!!!
Passo 4
Agora vamos usar a fórmula pra calcular a área de uma superfície real!
Nossa superfície é gerada pela rotação da curva
Que é essa curva aqui
Queremos a área da superfície gerada quando essa curva gira em torno do eixo polar, que é esse eixo horizontal aí né..
Se você reparar, a curva cruza a origem quando intersecta a ela mesma, assim
Assim, para obter a área da superfície, vamos girar o pedaço da curva que vai de até e depois multiplicar isso por 2. Com isso teremos a área da superfície inteira gerada pela rotação da curva, beleza?
Passo 5
Bora lá então.
Derivando implicitamente em relação a :
Elevando isso ao quadrado:
Passo 6
Substituindo na integral:
Assim, a área total da suprficie é:
Resposta
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