Enunciado

Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = cos ⁡ t + t   s e n   t ,       y = s e n   t - t cos ⁡ t ,     ( 0 ≤ t ≤ π )

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t =   - s e n   t + s e n   t + t c o s t = t cos ⁡ t    

d y d t = cos ⁡ t - cos ⁡ t + t   s e n   t = t   s e n   t

Aí a gente joga na fórmula:

= ∫ 0 π t cos ⁡ t 2 + t   s e n   t 2   d t

= ∫ 0 π t 2 cos 2 ⁡ t + t 2 s e n 2 t   d t

= ∫ 0 π t 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t   d t

E pela identidade trigonométrica fundamental, a gente sabe que:

= ∫ 0 π t 2 ( 1 )   d t

= ∫ 0 π t   d t

= t 2 2 0 π = π 2 2

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

π 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o comprimento do arco da curva 3 y = x 2 - 2 3 2 do ponto x = 3 ao ponto x = 6 .
Um sólido é formado pela rotação em torno do eixo y , da região limitada, da região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pela reta x = c , onde c0 . Para que valores de c o volume do sólido é d
Ache o comprimento do arco da curva 9 x 2 3 + 4 y 2 3 = 36 no segundo quadrante do ponto onde x = - 1
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). ρ = e - θ ,θ ≥ 0
Desenhe a curva dada (coordenadas polares). θ = π 4