Determine o comprimento da curva

y = x^2 / 8 - ln(x)

4 <= x <= 8

Passo 1

A questão vai direto ao ponto. Precisamos calcular um comprimento de arco. Para isto, vamos relembrar da definição vista na Seção 6.3. Se f ' é continua em a , b , então o comprimento da curva y = f ( x ) do ponto A = a , f a ao ponto B = b , f b é o valor da integral

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Portanto, precisamos obter f ' ( x ) , analisar a continuidade da função no intervalo 4 ≤ x ≤ 8 e posteriormente aplicar diretamente na função acima! Simples, não é?

Passo 2

Vamos começar por obter a derivada de f ( x ) . Se f x = x 2 / 8   - ln ⁡ x , temos:

f ' x = x 4 - 1 x = x 2 - 4 4 x

Quando estudamos continuidade, vimos que a razão de funções contínuas são funções contínuas desde que o denominador seja diferente de 0. Como tanto o numerador são funções contínuas, pois são funções polinomiais, basta que o denominador seja diferente de 0. Isto é, x ≠ 0 . Como o intervalo que queremos analisar o comprimento da curva é 4 ≤ x ≤ 8 , a função satisfaz a definição do Passo 1!!! Agora é moleza só partir para o cálculo da integral.

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do arco através da fórmula do Passo 1. Portanto, temos:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x = ∫ 4 8 1 + x 2 - 4 4 x 2 d x

L = ∫ 4 8 1 + x 4 - 8 x 2 + 1 6 16 x 2 d x

L = ∫ 4 8 x 4 + 8 x 2 + 1 6 16 x 2 d x

A função g x = x 4 + 8 x 2 + 16 pode ser escrita por x 2 + 4 2 . Fazendo esta substituição, temos:

L = ∫ 4 8 x 2 + 4 2 16 x 2 d x = ∫ 4 8 2 d x

L = ∫ 4 8 x 2 + 4 4 x d x = ∫ 4 8 x 4 + 1 x d x

Resolvendo a integral, obtemos:

L = x 2 8 + ln ⁡ x 4 8 = 64 8 + ln ⁡ 8 - 16 8 + ln ⁡ 4

L = 6 + 3 ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 2

L = 4 + ln ⁡ 2

Resposta

L = 4 + ln ⁡ 2

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