Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 7.2 - Ex. 44

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Use a fórmula do exercício 43 para mostrar que

f - 1 ' ' x = - f ' ' f - 1 x f ' f - 1 x 3

Passo 1

No exercício 43 chegamos na seguinte expressão para a derivada da inversa:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Agora a questão pede para você usar essa expressão para achar a segunda derivada. Ora bolas, para achar a segunda derivada basta derivar a primeira derivada, não é? Então vamos fazer isso!

Podemos escrever:

f - 1 ' x = f ' f - 1 x - 1

Derivando pela regra da cadeia:

f - 1 ' ' x = - f ' f - 1 x - 2 ⋅ f ' f - 1 x '

Passo 2

Por outro lado, sabemos que

f ' f - 1 x ' = f ' ' f - 1 x ⋅ f - 1 x '

Note que você sabe uma fórmula para f - 1 x ' , é a expressão do exercício 43:

f ' f - 1 x ' = f ' ' f - 1 x f ' f - 1 x

Portanto,

f - 1 ' ' x = - 1 f ' f - 1 x 2 ⋅ f ' ' f - 1 x f ' f - 1 x

Assim,

f - 1 ' ' x = - f ' ' f - 1 x f ' f - 1 x 3

Resposta

Demonstração.

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