Use a fórmula de redução (10) para calcular: ( a ) ∫ cos 5 ⁡ ( x ) d x                         ( b ) ∫ 0 π / 2 c o s 6 x d x

Passo 1

A fórmula de redução (10) que o exercício pede para usarmos é dada por:

∫ c o s n d x = 1 n c o s n - 1 x sen ⁡ x + n - 1 n ∫ c o s n - 2 x d x

Aqui, devemos substituir o valor de n nos itens (a) e (b) desse exercício.

Passo 2

  1. ∫ cos 5 ⁡ ( x ) d x
  2. Se observarmos a estrutura da função dada, vamos notar que pode ser usada na fórmula (10) substituindo n = 5 :

    ∫ c o s 5 d x = 1 5 c o s 5 - 1 x sen ⁡ x + 5 - 1 5 ∫ c o s 5 - 2 x d x

    Simplificando, temos:

    ∫ c o s 5 d x = 1 5 c o s 4 x sen ⁡ x + 4 5 ∫ c o s 3 x d x

    Antes de resolver, temos que avaliar ∫ cos 3 ⁡ ( x ) d x aplicando na fórmula (10) com n = 3 :

    ∫ c o s 3 d x = 1 3 c o s 3 - 1 x sen ⁡ x + 3 - 1 3 ∫ c o s 3 - 2 x d x

    Simplificando:

    ∫ c o s 3 d x = 1 3 c o s 2 x sen ⁡ x + 2 3 ∫ c o s x d x

    Retornando a integral principal, temos que:

    ∫ c o s 5 d x = 1 5 c o s 4 x sen ⁡ x + 4 5 1 3 c o s 2 x sen ⁡ x + 2 3 ∫ c o s x d x

    Calculando, temos que:

    ∫ c o s 5 d x = 1 5 c o s 4 x sen ⁡ x + 4 15 cos 2 ⁡ x s e n x + 8 15 s e n x + C

    Passo 3

  3. ∫ 0 π 2 c o s 6 x d x

Para resolver esse segundo caso, iremos aplicar a mesma fórmula (10). Entretanto, agora n = 6 .

∫ c o s 6 d x = 1 6 c o s 6 - 1 x sen ⁡ x + 6 - 1 6 ∫ c o s 6 - 2 x d x

Simplificando, temos que:

∫ c o s 6 d x = 1 6 c o s 5 x sen ⁡ x + 5 6 ∫ c o s 4 x d x

Antes de resolver, temos que avaliar ∫ cos 4 ⁡ ( x ) d x aplicando na fórmula (10) com n = 4 :

∫ c o s 4 d x = 1 4 c o s 4 - 1 x sen ⁡ x + 4 - 1 4 ∫ c o s 4 - 2 x d x

Simplificando:

∫ c o s 4 d x = 1 4 c o s 3 x sen ⁡ x + 3 4 ∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x

Também temos que resolver ∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x :

∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x = 1 2 c o s 2 - 1 x sen ⁡ x + 2 - 1 2 ∫ c o s 2 - 2 x d x

Simplificando:

∫ cos 2 ⁡ ( x ) d x = 1 2 c o s x sen ⁡ x + 1 2 ∫ d x = 1 2 c o s x sen ⁡ x + 1 2 x

Retornando as integrais:

∫ c o s 6 d x = 1 6 c o s 5 x sen ⁡ x + 5 6 1 4 c o s 3 x sen ⁡ x + 3 4 1 2 c o s x sen ⁡ x + 1 2 x

Simplificando, temos:

∫ c o s 6 d x = 1 6 c o s 5 x sen ⁡ x + 5 2 4 c o s 3 x sen ⁡ x + 5 6 . 3 4 . 1 2 cos ⁡ x s e n x + x + C

Assim:

∫ c o s 6 d x = 1 6 c o s 5 x sen ⁡ x + 5 24 c o s 3 x sen ⁡ x + 5 1 6 cos ⁡ x s e n x + 5 16 x + C

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π 2 c o s 6 x d x = 1 6 c o s 5 x sen ⁡ x + 5 24 c o s 3 x sen ⁡ x + 5 16 cos ⁡ x s e n x + 5 16 x 0 π 2

Resolvendo os limites de integração, temos que:

∫ 0 π 2 c o s 6 x d x = 5 π 32

Resposta

(a)   ∫ c o s 5 d x = 1 5 c o s 4 x sen ⁡ x + 4 15 cos 2 ⁡ x s e n x + 8 15 s e n x + C

(b) ∫ 0 π 2 c o s 6 x d x = 5 π 32

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