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Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r
  2. ∫ - 1 1 r 1 - r 2 d r

Passo 1

Vamos começar lembrando do Teorema 7:

∫ a b f g x ∙ g ' x d x = ∫ g a g b f u d u

Assim, faremos uma mudança de variável:

u = 1 - r 2

Derivando dos dois lados:

d u = 0 - 2 r d r

- d u 2 = r d r

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

r = 0 → u = 1 - 0 2 = 1

r = 1 → u = 1 - 1 2 = 0

Assim,

∫ 0 1 r 1 - r 2 d r = ∫ 0 1 1 - r 2 r d r = - ∫ 1 0 u d u 2

Calculando a integral:

- ∫ 1 0 u d u 2 = - 1 2 ∫ 1 0 u 1 2 d u = - 1 2 u 3 2 3 2 1 0 = - 1 2 2 u 3 2 3 1 0 = - 1 2 2 u 3 3 1 0 = - 1 2 2 0 3 3 - 2 1 3 3

- ∫ 1 0 u d u 2 = - 1 2 0 - 2 3 = 1 3

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

y = - 1 → u = 1 - - 1 2 = 0

y = 1 → u = 1 - 1 2 = 0

Assim,

∫ 0 1 r 1 - r 2 d r = - ∫ 0 0 u d u 2 = 0

Resposta

  1. 1 / 3
  2. 0

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