Enunciado

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ 1 e π / 4 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Vamos fazer a nossa primeira substituição. Para isto, fazemos u = l n ⁡ ( t ) . Consequentemente, temos que d u = d t / t . Se analisarmos apenas a integral indefinida, temos:

∫ 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t = ∫ 4 1 + u 2   d  

Passo 3

A integral que obtemos no Passo anterior é a de uma batida. Vocês a verão diversas e diversas vezes, principalmente quando estudarem a técnica de resolução de integrais por frações parciais! Mas, por enquanto, vamos precisar relembrar da função t g - 1 ( x ) , a função arco tangente. Se vocês não se recordam, a derivada desta função é:

t g - 1 x ' = 1 1 + x 2

E não é que o resultado é a função que precisamos integrar! Portanto, a primitiva da nossa função é a função t g - 1 ( u ) . Logo,

∫ 4 1 + u 2   d u   = 4 t g - 1 u + k

Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante k , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável t . Temos então:

4 t g - 1 u + k = 4 t g - 1 ln ⁡ t + k

Passo 4

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ 1 e π / 4 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t = 4 t g - 1 ln ⁡ t 1 e π / 4

∫ 1 e π / 4 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t = 4 t g - 1 l n ⁡ ( e π / 4 ) - 4 t g - 1 ln ⁡ 1

∫ 1 e π / 4 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t = 4 t g - 1 π 4 - 4 t g - 1 0

∫ 1 e π / 4 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t = 4 t g - 1 π 4 - 0

Logo,

∫ 1 e π / 4 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t = 4 t g - 1 π 4

Resposta

∫ 1 e π / 4 4 t 1 + ln 2 ⁡ t   d t = 4 t g - 1 π 4

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