Enunciado

Use a fórmula

d y d x   =   lim z → x ⁡   f ( z )   -   f ( x ) z   -   x

Para determinar a derivada da função

g ( x )   =   x   x -   1

Passo 1

As vezes não vamos ter como usar os truques de derivadas, principalmente quando tivermos funções com comportamentos estranhos. Então temos que saber muito bem como resolver derivando pela definição. A forma como ele pediu não é muito diferente do que aprendemos nas aulas de calculo

lim ∆ x → 0 ⁡   f ( x + ∆ x )   -   f ( x ) ∆ x =   lim z → x ⁡   f ( z )   -   f ( x ) z   -   x

Então vamos lá . Vamos plotar nossos valores e arregaçar as mangas e calcular.

d y d x   =   lim z → x ⁡   z   z -   1   -   x   x -   1 z   -   x

Aqui vamos precisar fazer um truque. Vamos multiplicar e dividir, em cima e em baixo para poder resolver . Saca só !

d y d x   =   lim z → x ⁡   z   z -   1   ∙   x -   1 x -   1   -   x   x -   1   ∙   z -   1 z -   1 z   -   x

d y d x   =   lim z → x ⁡   z ( x -   1 )   -   x ( z -   1 ) ( z   -   x ) ( x -   1 ) ( z -   1 )

d y d x   =   lim z → x ⁡   z x -   z   -   x z + x   ( z   -   x ) ( x -   1 ) ( z -   1 )

d y d x   =   lim z → x ⁡   -   z   + x   ( z   -   x ) ( x -   1 ) ( z -   1 )

d y d x   =   lim z → x ⁡   -   1   ( x -   1 ) ( z -   1 )

Olha só, estamos avançando. Já melhoramos muito a cara de nossa função. Podemos agora simplesmente aplicar nosso limite.

d y d x   =   -   1   ( x -   1 ) ( x -   1 )

d y d x   =   -   1   ( x -   1 ) 2

Resposta

d y d x   =   -   1   ( x -   1 ) 2

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