Dada f(x) = (1/2)(a^x + a^(-x)) . Prove que

f(b+c) + f(b-c) = 2f(b)f(c)

Passo 1

Para provar a igualdade, vamos começar simplesmente substituindo os valores para obter f b + c + f ( b - c ) :

f b + c + f b - c = 1 2 a b + c + a - b - c + 1 2 ( a b - c + a - b + c )

Passo 2

Agora podemos juntar tudo colocando em evidência só o ½:

f b + c + f b - c = 1 2 ( a b + c + a - b - c + a b - c + a - b + c )

Mas pela propriedade de exponenciais, que diz que x y z = x y x z , podemos separar cada potência de a em duas:

f b + c + f b - c = 1 2 ( a b a c + a - b a - c + a b a - c + a - b a c )

Passo 3

Note que agora temos o termo a b duas vezes e o termo a - b também duas vezes. Podemos agrupá-los:

1 2 a b a c + a - b a - c + a b a - c + a - b a c = 1 2 ( a b a c + a - c + a - b a c + a - c )

Agora colocando ( a c + a - c ) em evidência:

1 2 a b a c + a - c + a - b a c + a - c = 1 2 ( a b + a - b ) ( a c + a - c )

Passo 4

Sabemos que f b = 1 2 ( a b + a - b ) e f c = 1 2 ( a c + a - c ) e então 2 f b = a b + a - b e 2 f c = a c + a - c . Substituindo, temos então finalmente:

f b + c + f b - c = 1 2 a b + a - b a c + a - c = 1 2 ⋅ 2 f b ⋅ 2 f c = 2 f b f ( c )

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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