Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 28
Use um gráfico do campo vetorial e a curva para dizer se a integral de linha de ao longo de é positiva, negativa ou nula. Em seguida, calcule a integral.
é a parábola de a .
Passo 1
Galera, vamos observar o gráfico do campo vetorial junto com a curva:
Começando em , no segundo quadrante, à medida que vamos descendo a curva as setas dos vetores parecem estar apontadas justamente no sentido oposto do caminho. Mas, quando chegamos no ponto mais baixo da parábola, isso se inverte: à medida que subimos a curva, as setas parecem acompanhar o sentido do caminho. Como existe simetria entre as duas partes, é razoável supor que a integral deve ser nula.
Passo 2
Agora queremos calcular a integral , onde a parábola pode ser representada por:
Então teremos:
Passo 3
Podemos então escrever a integral assim:
Se utilizarmos um CAS para calcular a integral, obteremos, como previmos por meio do gráfico:
(Também poderíamos obter da integral se observássemos que o integrando é uma função ímpar, com limites de integração e , com .)