Enunciado

Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para dizer se a integral de linha de F ao longo de C é positiva, negativa ou nula. Em seguida, calcule a integral.

F x ,   y = x x 2 + y 2   i + y x 2 + y 2   j

C é a parábola y = 1 + x 2 de - 1 ,   2 a 1 ,   2 .

Passo 1

Galera, vamos observar o gráfico do campo vetorial junto com a curva:

Começando em - 1 ,   2 , no segundo quadrante, à medida que vamos descendo a curva as setas dos vetores parecem estar apontadas justamente no sentido oposto do caminho. Mas, quando chegamos no ponto mais baixo da parábola, isso se inverte: à medida que subimos a curva, as setas parecem acompanhar o sentido do caminho. Como existe simetria entre as duas partes, é razoável supor que a integral deve ser nula.

Passo 2

Agora queremos calcular a integral ∫ C F ∙ d r , onde a parábola C pode ser representada por:

r t = t   i + 1 + t 2   j   ,         - 1 ≤ t ≤ 1

Então teremos:

F r t = t t 2 + 1 + t 2 2   i + 1 + t 2 t 2 + 1 + t 2 2   j

r ' t = i + 2 t   j

Passo 3

Podemos então escrever a integral assim:

∫ C F ∙ d r = ∫ - 1 1 F r t ∙ r ' t   d t = ∫ - 1 1 t t 2 + 1 + t 2 2 + 2 t 1 + t 2 t 2 + 1 + t 2 2   d t = ∫ - 1 1 t ( 3 + 2 t 2 ) t 4 + 3 t 2 + 1   d t

Se utilizarmos um CAS para calcular a integral, obteremos, como previmos por meio do gráfico:

∫ C F ∙ d r = 0

(Também poderíamos obter 0 da integral se observássemos que o integrando é uma função ímpar, com limites de integração a e - a , com a = 1 .)

Resposta

0

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