Enunciado

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que

se x - 1 < δ então 2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0,1

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... de forma direta, queremos encontrar um número δ . Para isso, o enunciado nos diz que se

x - 1 < δ

Então

2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0,1

Confuso, né??

Vamos dar uma olhadinha nos conceitos?

Bom... a gente pode dizer que o seguinte limite é verdadeiro:

lim x → a ⁡ f x = L

Quando para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que se

0 < x - a < δ

Então

f x - L < ε

A gente pode enxergar isso na seguinte figura:

Assim, comparando os dados da nossa questão com o conceito apresentado, podemos concluir que a = 1 , f x = 2 x x 2 + 4 , L = 0,4 e ε = 0,1 .

Estamos interessados na região próxima do ponto 1 ,   0,4 .

Passo 2

Podemos reescrever a desigualdade

2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0,1

como

0,3 < 2 x x 2 + 4 < 0,5

Pois os valores limites do intervalo de f x são

0,4 + 0,1 = 0,5

E

0,4 - 0,1 = 0,3

Assim, precisamos determinar os valores de x para os quais a curva f x = 2 x x 2 + 4 está entre as restas horizontais y = 0,3 e y = 0,5 .

Passo 3

Agora, vamos plotar o gráfico das três funções próximo do ponto 1 ,   0,4 :

Vemos o ponto de intersecção (em cinza) da curva com as retas é:

0,6667 < x < 2

Vemos que esse intervalo não é simétrico em torno de 1 , a distância até a extremidade esquerda é 1 - 0,6667 = 0,3333 , e a distância até a extremidade direita é 2 - 1 = 1 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,3333 . (Quando menor o valor de δ , mais preciso será ε )

Embora tenhamos escolhido δ = 0,3333 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Resposta

δ = 0,3333

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