Enunciado

(a) Use um gráfico de f para estimar aproximadamente os intervalos da concavidade e as coordenadas dos pontos de inflexão.

(b) Use um gráfico de f ' ' para uma estimativa melhor.

f x = cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ 2 x ,     0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Item a:

Pelo gráfico de f :

Então a concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de 1     ,   2.5 e 3.5   ,     5 . E concavidade para baixo em 0     ,     1 , 2.5     ,     3.5 e 5     ,     2 π . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em 1     ,     0.4 , 2.5     ,   - 0.6 , 3.5     ,   - 0.6 e 5.2     ,     0.2 .

Passo 2

Item b:

Pelo gráfico de f ' ' :

Se f ' ' é negativa, então f possui concavidade para baixo, se f ' ' é positiva, então f possui concavidade para cima e se f ' ' é nula, temos um ponto de inflexão. Assim, a concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de 0.936     ,   2.574 e 3.709   ,     5.347 . E concavidade para baixo em 0     ,     0.936 , 2.574     , 3.709 e 5.347     ,     2 π . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em 0.936     ,     0.4447 , 2.574     ,   - 0.6322 , 3.709     ,   - 0.6322 e 5.347     ,   0.4444 .

Resposta

(a) A concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de 1     ,   2.5 e 3.5   ,     5 . E concavidade para baixo em 0     ,     1 , 2.5     ,     3.5 e 5     ,     2 π . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em 1     ,     0.4 , 2.5     ,   - 0.6 , 3.5     ,   - 0.6 e 5.2     ,     0.2 .

(b) A concavidade é voltada para cima nos intervalos aproximados de 0.936     ,   2.574 e 3.709   ,     5.347 e a concavidade é para baixo em 0     ,     0.936 , 2.574     , 3.709 e 5.347     ,     2 π . Logo, temos pontos de inflexão aproximadamente em 0.936     ,     0.4447 , 2.574     ,   - 0.6322 , 3.709     ,   - 0.6322 e 5.347     ,   0.4444 .

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Se f x = a x 3 + b x 2 + c x , determine a , b e c de tal forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em ( 1 ,- 1 ) e que a inclinação da tangente inflexional seja - 3 .
Se f x = x | x | , mostre que o gráfico de f tem um ponto de inflexão na origem.
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b
Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para b