Enunciado

Use um gráfico para estimar a intersecção com o eixo x da curva y = 2 x + 3 x 4 - 2 x 6 . A seguir, use essa informação para estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x .

Passo 1

Primeiro vamos estimar a intersesção com o eixo x da curva y = 2 x + 3 x 4 - 2 x 6 , para isso vamos plotar o gráfico:

Pelo gráfico dá pra perceber que a interseção com o eixo x é em x = 0 e em mais ou menos x = 1,37 .

Passo 2

Agora vamos estimar a área da região que se situa sob a curva e acima do eixo x , para fazer isso devemos calcular a integral da curva de cima menos a de baixo, e usar os limites de integração com os pontos de intersecção que acabamos de achar.

A curva de cima é y = 2 x + 3 x 4 - 2 x 6 , a de baixo é o eixo x , que seria y = 0 , vamos agora montar a integral:

A = ∫ 0 1,37 2 x + 3 x 4 - 2 x 6 - 0   d x = ∫ 0 1,37 2 x + 3 x 4 - 2 x 6   d x = ∫ 0 1,37 2 x d x + ∫ 0 1,37 3 x 4 d x + ∫ 0 1,37 - 2 x 6 d x

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 2 x + 3 x 4 - 2 x 6 = ∫ 2 x   d x + ∫ 3 x 4 d x + ∫ - 2 x 6 d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ 2 x   d x = 2 ∫ x   d x = 2 ∙ x 1 + 1 1 + 1 = 2 x 2 2 = x 2 + C

∫ 3 x 4 d x = 3 ∫ x 4 d x = 3 ∙ x 4 + 1 4 + 1 = 3 x 5 5 + C

∫ - 2 x 6 d x = - 2 ∫ x 6 d x = - 2 x 6 + 1 6 + 1 = - 2 x 7 7 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

A = ∫ 0 1,37 2 x d x + ∫ 0 1,37 3 x 4 d x + ∫ 0 1,37 - 2 x 6 d x = x 2 0 1,37 + 3 x 5 5 0 1,37 + - 2 x 7 7 0 1,37 = 1,37 2 - 0 2 + 3.1,37 5 5 - 0 5 5 + - 2.1,37 7 7 - - 0 7 7 ≈ 2,18

Resposta

Intersecção em x = 0 e x ≈ 1,37

A ≈ 2,18

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