Enunciado

Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem sua base sobre o eixo   x   e seus dois outros vértices acima do eixo x e sobre a parábola y   =   8   -   x ² .

Passo 1

O exercício deseja obter os valores máximos que a largura e a altura de um retângulo, que chamaremos respectivamente de x e y , podem assumir dada a restrição imposta pela parábola seguinte:

Passo 2

A largura desse retângulo vale 2 x , e sua altura, y , assim, temos uma área:

A = 2 x y .

O y já nos é dado pela fórmula da parábola e vale 8 - x 2 , com isso, podemos fazer a substituição na fórmula da área:

A = 2 x 8 - x 2

A = 16 x - 2 x 3

Passo 3

Agora, dependendo de apenas uma variável, x , será possível fazer a maximização derivando e igualando a zero, para encontramos as dimensões máximas:

A ' x = 16 - 6 x 2 = 0

16 = 6 x 2

x 2 = 8 3

x = 2 2 3

Substituindo x em y :

y   =   8   -   x ²

y = 8 - 2 2 3 2

y = 16 3

Resposta

Dimensões do retângulo:

Largura = 2 x = 2.2 2 3 = 4 2 3

Altura = 16 3

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