Enunciado

Use diferenciação implícita para mostrar que a função definida implicitamente por s e n x + cos ⁡ y = 2 y tem pontos críticos, sempre que cos ⁡ x = 0 . Use, então, o teste da derivada primeira ou segunda para classifica-los como máximos ou mínimos relativos.

Passo 1

Primeiro, vamos diferenciar a função dada:

cos ⁡ x - s e n y . d y d x = 2 . d y d x

Resolvendo d y d x , temos que:

d y d x = cos ⁡ x s e n y + 2

Como cos ⁡ x = 0 dado pelo exercício

A função toda zera quando o numerador é igual a zero, e isso acontece em pontos de :

x = ± π 2

Generalizando até ± ∞ temos que :

x = 2 π k ± π 2

Passo 2

Agora, vamos analisar o sinal graficamente, onde D e E são x = ± π 2 .

Analisando o gráfico, vemos que o ponto x = - π / 2 é um ponto de mínimo relativo, pois nesse intervalo ele decresce pela esquerda, no ponto f ' x = 0 , e posterioremente volta a aumentar. Ao passo que em x = π / 2 é um ponto de máximo relativo.

Resposta

x = - π / 2 mínimo relativo.

x = π / 2 máximo relativo.

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