Enunciado

Use um gráfico da sequência para decidir se ela é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, conjecture o valor do limite a partir do gráfico e então demonstre sua conjectura.

a n = n   s e n π n

Passo 1

Primeira coisa que ele fala é pra gente traçar o gráfico.Mas aí que você me pergunta: “como eu vou fazer isso? O nome já dá medo”...

Pessoal, a coisa é mais simples do que parece. Você pode jogar essa equação em uma calculadora gráfica ou no software GeoGebra usando a ferramenta de sequências.

Com o gráfico em mãos podemos analisar o comportamento dos valores da sequência e assim entender para qual valor eles estão se aproximando.

Depois de conjecturar, ou seja, estimar esse valor, vamos demonstrar essa conjectura através do cálculo do limite que vai mostrar se nossa suposição inicial através do gráfico estava certa e se a sequência realmente converge para aquele valor.

E para o cálculo desse limite podemos usar um limite fundamental trigonométrico, que facilitará bastante nosso processo de resolução.

Show? Vamos por partes então.

Passo 2

Vamos demonstrar com os primeiros termos da sequência como funciona a plotagem do seu gráfico, começando com n = 1 :

a 1 = 1   s e n π 1 = 0

a 2 = 2   s e n π 2 = 1,1253

a 3 = 3   s e n π 3 = 1,6812

a 4 = 4   s e n π 4 = 2

E assim sucessivamente até n = 100 . Mesmo a sequências sendo infinitas, plotar os 100 primeiros termos já nos dá uma boa ideia de como será seu comportamento.

O gráfico retornado pelo GeoGebra é:

E pronto, já fizemos a primeira parte que dava um medinho, mas que vimos que foi tranquilo.

Passo 3

Ufa! Já passou, mas e agora?

Olhando pro gráfico percebemos que ele depois de um tempo tende a um mesmo valor:

Logo, a série é uma sequência convergente, pois depois de um tempo ela tende a um mesmo valor. Mas que valor será esse?

Pelo gráfico, é um valor um pouco maior do que 3 . Vamos conjecturar que esse valor seja π , já que temos uma função trigonométrica e π = 3,14159 … e faz sentido para o que vemos no gráfico.

Será que converge pra π ?

Passo 4

Vamos dar uma olhada nesse limite fundamental que usaremos e qual a ideia por trás disso:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Como vimos, se tornarmos nosso limite no mesmo formato que esse, teremos logo seu resultado, pois já é conhecido. Essa é justamente a vantagem de usar limites fundamentais (lembrando que há mais tipos de limites fundamentais, esse é um deles: o limite fundamental trigonométrico).

Passo 5

Agora vamos calcular o limite da sequência pra confirmar nossa hipótese, tá ok?

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   n   s e n π n

Vamos fazer uma mudança de variáveis pra tentar chegar no limite fundamental:

π n = x  

Então:

π x = n  

Quando n tende a infinito:

  n → ∞ ⇒ x → 0 +

O valor de x tende a zero, logo nossa série fica da seguinte maneira:

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   n   s e n π n

Substituindo os valores para a equação ficar em função de x :

lim n → ∞ ⁡ a n = lim x → 0 + ⁡ π x s e n   x = π   l i m x → 0 + s e n   x x

Bom, mas o limite dá uma indeterminação:

π   l i m x → 0 + s e n   x x =   π s e n   0 0 = 0 0

Logo, vamos aplicar a regra de L’Hopital:

lim n → ∞ ⁡ a n = π   l i m x → 0 + d s e n   x d x d x d x

lim n → ∞ ⁡ a n = π   l i m x → 0 + cos ⁡ x 1

lim n → ∞ ⁡ a n = π   cos ⁡ 0 1 =   π . 1 =   π

Prontinho! A sequência realmente converge pra π .

Resposta

Sequência convergente

lim n → ∞ ⁡ a n = π

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