Enunciado

Use o gráfico da sequência para decidir quando a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência é convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e, então, prove seu palpite. (Veja na nota de rodapé na página 699 para conselhos de gráficos de sequências.)

a n = arctan ⁡ n 2 n 2 + 4

Passo 1

Beleza, galera? Vamos resolver essa questão de sequências.

Basicamente, o que precisamos fazer aqui é plotar o gráfico da nossa sequência e analisar para onde os valores dela vão se aproximando. Caso se aproximem de um valor fixo dizemos que essa sequência converge e analisando a curva vamos conjecturar que valor seria esse.

Depois, para provar nossa plapite, é só calcular o limite de a n e ver se faz sentido com nosso palpite inicial.

Galerinha, uma sequência a n tem limite L se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.

Ah, e sobre a nota de rodapé na página 699, ela basicamente traz uma dica de como alguns sistemas de álgebra computacional nos permitem criar sequências e graficá-las diretamente. No entanto, com a maioria das calculadoras gráficas, as sequências podem ser graficadas utilizando equações paramétricas.

No nosso caso, usaremos o software GeoGebra, que já nos traz o gráfico diretamente quando utilizamos a função sequências.

Passo 2

Usando um software para plotar os pontos dessa sequência, temos:

Do gráfico, parece que a sequência é convergente! Ela parece convergir para um valor muito próximo de 0,8 , conforme o valor de n aumenta. Vamos verificar se isso é verdade!

Passo 3

Vamos resolver esse limite!

Nossa estratégia aqui é dividirmos o numerador e o denominador pela maior potência do denominador, que é n 2 . Dessa forma nós vamos ficar somente com um termo na nossa sequência em função de n ao invés dos dois termos que temos agora. Note como a análise de um só termo vai ficar bem mais simples.

lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n 2 n 2 + 4 = lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ 1 1 + 4 / n 2

Agora podemos perceber mais facilmente que 4 n 2 fica cada vez menor com n crescendo infinitamente.

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ 1 1 + 0 = lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ 1

Agora, temos que o limite da constante é a própria constante, então:

lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ 1 = arctan ⁡ 1 = π 4

Isso prova nossa conjectura inicial, já que π 4 = 0,785 , ou seja, valor muito próximo de 0,8.

Portanto, a série, de fato, é convergente e converge para 0,785 .

Resposta

A sequência converge para   0,785 .

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