Enunciado

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

85. a n = ( l n   n ) 200 n

Passo 1

Fala, galera! Bora lá para mais uma questão?

A questão pede pra gente descobrir se a sequência converge e, caso sim, qual é o limite dela. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando n → ∞ . Bom, a definição dessa sequência parece um pouco assustadora, mas fica tranquilo que nós vamos conseguir resolver.

Se a gente tomar o limite da sequência, vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ ∞ :

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( l n   n ) 200 n

Então, vamos precisar aplicar a regra de L’Hôpital. Se liga aí no próximo passo.

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hôpital, nós ficamos com

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ d d n ( l n   n ) 200 d d n n = l i m n → ∞ 200 ( l n   n ) 199 d d n ( l n   n ) 1

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ 200 ( l n   n ) 199 n

Opa! Ficamos com uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Então, vamos aplicar L’Hôpital de novo:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ d d n 200 ( l n   n ) 199 d d n n = l i m n → ∞ 200 ⋅ 199 ( l n   n ) 198 n

Ok, parece que vamos ter que aplicar L’Hôpital mais umas 197 vezes 😂. Bom, claro que não vamos fazer isso 197 vezes, mas vamos observar que a cada vez terminamos com algo do tipo

l i m n → ∞ 200 ⋅ 199 ⋅ . . . N ( l n   n ) N - 1 n

Então, temos que parar quando o expoente de l n n for 1 , ou seja, quando N = 2 :

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ 200 ⋅ 199 ⋅ . . . ⋅ 2 ( l n   n ) n = 200 ! ⋅ l i m n → ∞ l n   n n

Passo 3

Prontinho, agora só precisamos do limite

l i m n → ∞ l n   n n

Mas já temos o resultado nesse limite na fórmula 1 do Teorema 5:

l i m n → ∞ l n   n n = 0

Muito bem, agora só precisamos substituir isso no limite da sequência

l i m n → ∞ a n = 200 ! ⋅ l i m n → ∞ l n   n n = 200 ! ⋅ 0 = 0

Então, a sequência converge para 0 . E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 0

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