Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = ln ⁡ 1 + x 3

Passo 1

Faaala meus queridos, tudo certo?

Oi meus queridos, bora pra mais uma?

Nós temos a função

y = ln ⁡ 1 + x 3

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo x , isso é:

f x = 0

E o pontos onde a função cruza o eixo y , isso é:

f 0 = y

C. Verificar se há simetria par, isso é:

f - x = f x

Para isso, basta substituir x por - x e verificar se a expressão se mantém a mesma.

Verificar se há simetria ímpar, isso é:

f - x = - f x

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando x tende para infinito:

A H = lim x → ± ∞ ⁡ f x

Já uma assíntota vertical é um valor de x no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

lim x → AV ⁡ f x = ± ∞

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

f ' x > 0

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

f ' x < 0

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

f ' x = 0

f ' x   ∄

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

f ' ' x > 0

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

f ' ' x < 0

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

f ' ' x = 0

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

Seguindo o roteiro temos:

A) O domínio da função será os reais menos os pontos em que ln não está definido. Então não podemos ter números negativos e o zero:

f x = ln ⁡ 1 + x 3

1 + x 3 > 0

x 3 > - 1

x > - 1

D = - 1 , ∞

B) Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x.

No eixo x , temos y = 0 , portanto:

f x = 0

ln ⁡ 1 + x 3 = 0

Elevando pela exponencial em ambos os lados, temos:

e ln ⁡ 1 + x 3 = e 0

1 + x 3 = 1

x 3 = 0

x = 0

No eixo y , temos x = 0 , portanto:

f 0 = ln ⁡ 1 + 0 3

f 0 = ln ⁡ 1

f 0 = 0

Dessa forma, temos que a função intercepta o eixo x em x = 0 e intercepta o eixo y em y = 0 , ou seja, a função passa pela origem 0,0 .

C) Checando simetria:

f - x ≠ f x

ln ⁡ 1 - x 3 ≠ ln ⁡ 1 + x 3

f - x ≠ - f x

ln ⁡ 1 - x 3 ≠ - ln ⁡ 1 + x 3

Portanto, não há simetria na função.

D) Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.

Assíntotas Horizontais:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = L

Vamos lá:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 3 = ln ⁡ ∞ = ∞

lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 3 = ∄

(se quer faz sentido pensar no limite com x tendendo a infinito negativo, afinal a função só é definida para x > - 1 ).

Logo, não temos assíntotas horizontais.

Para checar as assíntotas Verticais, devemos observar quando o termo dentro do l n tende a zero. Isto ocorre quando x → - 1 + , isso é quando ele tende a - 1 pela direita. Como a função não é definida para x < - 1 , não faz sentido pensar em x tendendo a - 1 pela esquerda.

lim x → - 1 + ⁡ ln ⁡ 1 + x 3 = ln ⁡ 0 + = - ∞

Portanto, temos uma assíntota vertical quando x = - 1

Passo 3

E) Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

f ' x > 0 → c r e s c e n t e

f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

A função dada é:

f x = ln ⁡ 1 + x 3

Vamos lá, derivando vamos aplicar uma regra da cadeia:

f ' x = 1 1 + x 3 3 x 2

f ' x = 3 x 2 1 + x 3

Fazendo um estudo de sinais dessa derivada, vemos que o fator 3 x 2 é sempre positivo, portanto, quem irá ditar o sinal da derivada é o fator no denominador. A derivada será positiva quando esse fator for positivo.

f ' x > 0

1 + x 3 > 0

x 3 > - 1

x > - 1

Portanto, a função é crescente quando:

Crescente:

f ' x > 0

x   ∈   - 1 ,   ∞  

Esta função nunca será descrescente. Isso ocorre pois não há valores menores que - 1 que a função está definida (o domínio dessa função é x > - 1 , lembra).

F) Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .  

Como vimos a derivada da função é sempre positiva em todo o domínio, portanto, não pontos de máximos ou mínimos.

Passo 4

G) Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f ’ ’ ( x ) for igual a zero.

A primeira derivada da função é:

f ' x = 3 x 2 1 + x 3

Derivando novamente para encontrar a segunda derivada, teremos aqui uma regra do quociente:

f ' ' x = 6 x 1 + x 3 - 3 x 2 3 x 2 1 + x 3 2

f ' ' x = 6 x + 6 x 4 - 9 x 4 1 + x 3 2

f ' ' x = 6 x - 3 x 4 1 + x 3 2

Para fatorar e nos ajudar a fazer o estudo de sinais, vou colocar 3 x em evidência no termo de cima:

f ' ' x = 3 x 2 - x 3 1 + x 3 2

Para fazer um estudo de sinais da segunda derivada, vamos ver como se comporta cada um dos fatores.

O fator no denominador é sempre positivo, pois está sendo elevado ao quadrado.

1 + x 3 2 > 0

O fator 3 x será positivo quando:

3 x > 0

x > 0

E o fator 2 - x 3 será positivo quando:

2 - x 3 > 0

- x 3 > - 2

Multiplicando ambos os lados por - 1 e assim tendo que inverter o sinal da desigualdade:

x 3 < 2

x < 2 3

Agora, podemos fazer o seguinte estudo de sinais:

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ 0 , 2 3

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - 1,0   U   2 3 ,   ∞

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x =   0   e   x = 2 3

Passo 5

H.

Resposta

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