Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = ln (1 + x^3)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que ln não está definido. Então não podemos ter números negativos e o zero:
  2. ln (1 + x^3) -> 1 + x^3 > 0 -> x > - 1

    D = (- 1 , oo)

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 0 .
  4. Checando simetria:
  5. f (- x) != f (x) -> ln (1 - x^3) != ln (1 + x^3)

    f (- x) != - f (x) -> ln (1 - x^3) != - ln (1 + x^3)

    Portanto, não há simetria na função.

  6. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  7. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> oo)(lim) ln (1 + x^3) = oo

    underset(x -> - oo)(lim) ln (1 + x^3) = ∄

    Logo, não temos assíntotas horizontais.

    Para checar as assíntotas Verticais, devemos observar quando o termo dentro do ln tende a zero. Isto ocorre quando x -> - 1

    underset(x -> - 1^+)(lim) ln (1 + x^3) = oo

    Portanto, temos uma assíntota vertical quando x = - 1

  8. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  9. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = (3 x^2)/(1 + x^3)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> (3 x^2)/(1 + x^3) > 0

    f^' (x) > 0 -> x in (- 1 , oo)

    Esta função nunca será descrescente.

  10. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  11. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos lá:

    f^(' ') (x) = - (3 x (x^3 - 2))/((x^3 + 1)^2)

    Na raíz de f^' (x) -> x = 0 :

    f^(' ') (0) = 0 -> p o n t o d e I n f l e x ã o

    Não há então, pontos de mínimos ou máximos, pois os requisitos mostrados acima não são atendidos.

  12. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f’’(x) for igual a zero.

f^(' ') (x) = - (3 x (x^3 - 2))/((x^3 + 1)^2)

- (3 x (x^3 - 2))/((x^3 + 1)^2) > 0

f^(' ') (x) > 0 -> x in (0 , root(3)(2))

- (3 x (x^3 - 2))/((x^3 + 1)^2) < 0

f^(' ') (x) < 0 -> x in (- 1 , 0) e (root(3)(2) , oo)

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (0 , root(3)(2))

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (- 1,0) e (root(3)(2) , oo)

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = 0 e x = root(3)(2)

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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