Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = csc x - 2 sen x , 0 < x < pi

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio foi dado pelo enunciado: 0 < x < pi
  2. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para y = 0 , t e m o s :
  3. 0 = csc x - 2 sen x = (1)/(sen x) - 2 sen x

    0 = 1 - 2 sen^2 x

    sen x = +- (1)/(sqrt(2))

    Logo, as raízes dentro do intervalo são: x = (pi)/(4) , x = (3 pi)/(4)

  4. Checando simetria:
  5. f (- x) != f (x) -> - (1)/(sen x) + 2 sen x != (1)/(sen x) - 2 sen x

    f (- x) = - f (x) -> - (1)/(sen x) + 2 sen x = - (1)/(sen x) + 2 sen x

    Portanto, a função é impar e por periódica por ser trigonométrica. Entretanto, o domínio só esta definido para ( 0 ; pi ) , o que vai limitar a simetria.

  6. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  7. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Como o domínio da função está definido apenas para um intervalo fechado ( 0 , pi ) , então não haverá assíntotas horizontais.

    Para checar as assíntotas verticais, temos que analisar a função quando o denominador tende a zero:

    underset(x -> 0^+)(lim) (1)/(sen x) - 2 sen x = (1)/(0) - 0 = oo

    underset(x -> pi^-)(lim) (1)/(sen x) - 2 sen x = (1)/(0) - 0 = oo

    Portanto haverá assíntotas verticais em x = 0 e x = pi

  8. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  9. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = - cot x csc x - 2 cos x

    f^' (x) = - (cos x)/(sin^2 x) - 2 cos x

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> - (cos x)/(sin^2 x) - 2 cos x > 0

    f^' (x) > 0 -> x in ((pi)/(2) , pi)

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> - (cos x)/(sin^2 x) - 2 cos x < 0

    f^' (x) < 0 -> x in (0 , (pi)/(2))

  10. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  11. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos lá:

    f^(' ') (x) = 2 sin x + csc^3 x + cot^2 x csc x

    Na raiz de f^' (x) -> x = (pi)/(2) :

    f^(' ') ((pi)/(2)) = 3 -> p o n t o d e m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f ((pi)/(2)) = - 1 -> m í n i m o

  12. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f^(' ') (x) = 2 sin x + csc^3 x + cot^2 x csc x

Temos que analisar dentro do domínio (0 , pi) :

2 sin x + csc^3 x + cot^2 x csc x > 0

2 sin x + (1)/(sin^3 x) + (cos^2 x)/(sin^3 x) > 0

Esta função sempre será maior que zero no intervalo do domínio, pois o seno será sempre positivo e o cosseno está ao quadrado. Logo:

f^(' ') (x) > 0 -> x in (0 , pi)

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (0 , pi)

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
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