Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 86
Suponha que é uma função positiva. Se , mostra que
Isto mostra que não é uma forma indeterminada.
Passo 1
Bom pessoal, inicialmente nós temos o limite
Que devemos provar que não é uma indeterminação. Vamos lá.
Como temos funções na forma de potência, devemos usar o conceito de logaritmo para facilitar a resolução. Desta forma, vamos considerar que:
Então, aplicando ln dos dois lados da equação:
Usando a identidade da potência logaritma, que diz que:
Temos então:
Aplicando a exponencial nos dois lados da equação, ficamos com:
Beleza. Esta é uma outra forma de escrever . Porém, ao substituir no limite, temos:
Como o enunciado diz que , então podemos substituir:
Sabemos que não existe, mas se considerarmos que a função tende de 0, o valor do ln será negativo, pois . Então ficamos com:
Desta forma, fica comprovado que não é uma indeterminação.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)