Enunciado

Suponha que f é uma função positiva. Se lim x → a ⁡ f x = 0   e   lim x → a ⁡ g x = ∞ , mostra que

lim x → a ⁡ f x g x = 0

Isto mostra que 0 ∞ não é uma forma indeterminada.

Passo 1

Bom pessoal, inicialmente nós temos o limite

lim x → a ⁡ f x g x = 0 ∞

Que devemos provar que não é uma indeterminação. Vamos lá.

Como temos funções na forma de potência, devemos usar o conceito de logaritmo para facilitar a resolução. Desta forma, vamos considerar que:

y = f x g x

Então, aplicando ln dos dois lados da equação:

ln ⁡ y = ln ⁡ f x g x

Usando a identidade da potência logaritma, que diz que:

ln ⁡ x p = p ln ⁡ x

Temos então:

ln ⁡ y = g ( x ) ln ⁡ f ( x )

Aplicando a exponencial nos dois lados da equação, ficamos com:

y = e g x ln ⁡ f x

Beleza. Esta é uma outra forma de escrever f x g x . Porém, ao substituir no limite, temos:

l i m x → a   e g x ln ⁡ f x

Como o enunciado diz que lim x → a ⁡ f x = 0   e   lim x → a ⁡ g x = ∞ , então podemos substituir:

l i m x → a e g x ln ⁡ f x =   e ∞ ln ⁡ 0

Sabemos que ln ⁡ 0 não existe, mas se considerarmos que a função tende de 0, o valor do ln será negativo, pois ln ⁡ x < 0   s e   x < 1 . Então ficamos com:

  l i m x → a e g x ln ⁡ f x = e - ∞ = 1 e ∞ = 0

Desta forma, fica comprovado que 0 ∞ não é uma indeterminação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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