Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = 1 + 1/x + 1/x^2

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Logo:
  2. D = ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para y = 0 ,   t e m o s :
  4. 0 = 1 + 1 x + 1 x 2 = x 2 + x + 1 x 2

    Podemos notar que não há raízes reais para a função. Logo não haverá interceptação.

  5. Checando simetria:
  6. f - x ≠ f x → 1 - 1 x + 1 x 2 ≠ 1 + 1 x + 1 x 2

    f - x ≠ - f x → 1 - 1 x + 1 x 2 ≠ - 1 - 1 x - 1 x 2

    Portanto, não há simetria na função.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

    lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = L

    Vamos lá:

    lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x + 1 x 2 = 1

    lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x + 1 x 2 = 1

    Logo, em y = 1 temos assíntotas horizontais

    Assíntotas Verticais (checar nos pontos que o denominador tende a zero):

    lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x + 1 x 2 = ∞

    lim x → 0 - ⁡ 1 + 1 x + 1 x 2 = 1 - ∞ + ∞ 2 = + ∞

    Logo, em   x = 0 temos assíntotas verticais.

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f ' x > 0 → c r e s c e n t e

    f ' x < 0 → d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f ' x = - 1 x 2 - 2 x 3

    Crescente:

    f ' x > 0 → - 1 x 2 - 2 x 3 > 0 → - x + 2 x 3 > 0

    f ' x > 0 → x   ∈ - 2 ,   - 0    

    Decrescente:

    f ' x < 0 → - 1 x 2 - 2 x 3 < 0 → - x + 2 x 3 > 0

    f ' x < 0 → x   ∈ - ∞ , - 2 e ( 0 , ∞ )    

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f ' x e avaliar se há troca de sinal de f ' x .   Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f ' ' x nas raízes de f ' x .
  12. S e   f ' c = 0   e   f ' ' c > 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m í n i m o

    S e   f ' c = 0   e   f ' ' c < 0 → e n t ã o   c   é   p o n t o   d e   m á x i m o

    Vamos lá:

    f ' ' x = 2 x 3 + 6 x 4

    Nas raízes de f ' x → x = - 2 :

    f ' ' - 2 = 0,125 → p o n t o   d e   m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f - 2 = 0,75

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f ' ' x > 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f’’(x) for igual a zero.

f ' ' x = 2 x 3 + 6 x 4 = 2 x + 6 x 4

f ' ' x > 0 → x   ∈ - 3 ,   ∞

f ' ' x < 0 → x   ∈ - ∞ ,   - 3

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a → x   ∈ - 3 ,   0   e   0 , ∞

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → x   ∈ - ∞ ,   - 3

P o n t o s   d e   i n f l e x ã o → x = - 3

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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