Enunciado

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Logo:
  2. D = ( - oo , 0 ) uu ( 0 , oo )

  3. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para y = 0 , t e m o s :
  4. 0 = 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = (x^2 + x + 1)/(x^2)

    Podemos notar que não há raízes reais para a função. Logo não haverá interceptação.

  5. Checando simetria:
  6. f (- x) != f (x) -> 1 - (1)/(x) + (1)/(x^2) != 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2)

    f (- x) != - f (x) -> 1 - (1)/(x) + (1)/(x^2) != - 1 - (1)/(x) - (1)/(x^2)

    Portanto, não há simetria na função.

  7. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
  8. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> oo)(lim) 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = 1

    underset(x -> - oo)(lim) 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = 1

    Logo, em y = 1 temos assíntotas horizontais

    Assíntotas Verticais (checar nos pontos que o denominador tende a zero):

    underset(x -> 0^+)(lim) 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = oo

    underset(x -> 0^-)(lim) 1 + (1)/(x) + (1)/(x^2) = 1 - oo + oo^2 = + oo

    Logo, em x = 0 temos assíntotas verticais.

  9. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
  10. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = - (1)/(x^2) - (2)/(x^3)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> - (1)/(x^2) - (2)/(x^3) > 0 -> - (x + 2)/(x^3) > 0

    f^' (x) > 0 -> x in (- 2 , - 0)

    Decrescente:

    f^' (x) < 0 -> - (1)/(x^2) - (2)/(x^3) < 0 -> - (x + 2)/(x^3) > 0

    f^' (x) < 0 -> x in (- oo , - 2) e ( 0 , oo )

  11. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .
  12. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Vamos lá:

    f^(' ') (x) = (2)/(x^3) + (6)/(x^4)

    Nas raízes de f^' (x) -> x = - 2 :

    f^(' ') (- 2) = 0,125 -> p o n t o d e m í n i m o

    Voltando na equação original de f(x):

    f (- 2) = 0,75

  13. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando f’’(x) for igual a zero.

f^(' ') (x) = (2)/(x^3) + (6)/(x^4) = (2 x + 6)/(x^4)

f^(' ') (x) > 0 -> x in (- 3 , oo)

f^(' ') (x) < 0 -> x in (- oo , - 3)

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (- 3 , 0) e (0 , oo)

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in (- oo , - 3)

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = - 3

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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