Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x^3 + 6 x^2 + 9 x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada por

y = x^3 + 6 x^2 + 9 x

O roteiro consiste em obter o domínio, as intersecções, simetrias, a primeira e segunda derivada para analisar crescimento e concavidade, procurar as interseções com eixos e as assíntotas.

Veja só! 😉

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real:

D_f = R

Legal, né? 😁

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 0 . Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

x^3 + 6 x^2 + 9 x = 0

x (x^2 + 6 x + 9) = 0

x (x + 3)^2 = 0

As raízes da função são x = 0 e x = - 3 . Assim, as interseções com os eixos ocorrerão em ( 0,0 ) e ( - 3,0 ) .

Note que y tem expoentes pares e ímpares de x , assim ela não é nem par nem ímpar. A função não tem nenhum tipo de simetria.

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 4

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

underset(x -> - oo)(lim) x^3 + 6 x^2 + 9 x = - oo

underset(x -> oo)(lim) x^3 + 6 x^2 + 9 x = + oo

Bora continuar! 😉

Passo 5

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y^' = 3 x^2 + 12 x + 9

y^' = 3 (x^2 + 4 x + 3)

y^' = 3 (x + 1) ( x + 3 )

*Para obtermos x^2 + 4 x + 3 = (x + 1) ( x + 3 ) , basta resolver a equação x^2 + 4 x + 3 = 0 . As raízes da equação são - 1 e - 3 , de modo que x^2 + 4 x + 3 = (x - (- 1)) (x - (- 3)) .

Desta forma,

Assim, x = - 3 é ponto de máximo local e x = - 1 é ponto de mínimo local. Note que f (- 3) = 0 e f (- 1) = - 4 .

Mínimo local: ( - 1 , - 4 ) ; máximo local: ( - 3,0 ) .

Interessante, né? 😇

Passo 6

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y^(' ') = 6 x + 12 = 6 ( x + 2 )

Assim,

Como f (- 2) = - 2 , o ponto ( - 2 , - 2 ) é um ponto de inflexão.

E finalmente, esboçando a curva, temos...

E aí! o que achou? Responde Aí! 👀

Resposta

Esboço da curva:

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