Enunciado

Use a informação do Exercício 5 para estimar cos ⁡ 80 ° com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

No exercício 5 nós encontramos o polinômio de Taylor de grau 3 do cos ⁡ x em torno de π / 2 que é um ponto bem próximo de 80 ° , então temos a soma

T 3 x = - x - π 2 + x - π 2 3 3 ! - x - π 2 5 5 ! + x - π 2 7 7 !

Passo 2

Para calcular em 80 ° precisamos converter esse valor para radianos, senão não podemos usar a série, então fazendo a regra de 3 marota

180 ° → π

80 ° → α

180 α = 80 π

α = 80 π 180 = 4 π 9

Passo 3

Substituindo no polinômio

T 3 4 π 9 = - 4 π 9 - π 2 + 4 π 9 - π 2 3 3 ! - 4 π 9 - π 2 5 5 ! + 4 π 9 - π 2 7 7 !

T 3 4 π 9 = 0,17365 …

Para calcularmos o erro, vamos usar a fórmula

R ( x ) = f x - T ( x )

R 3 4 π 9 = cos ⁡ 4 π 9 - T 3 4 π 9

R 3 4 π 9 = 0 , 17365 … - 0,17 3 65 …

R 3 4 π 9 = 0,00000 …

O erro não é de fato 0 , mas conseguimos uma precisão de pelo menos cinco casas decimais como pede o enunciado.

Resposta

cos ⁡ 80 ° ≈ 0,17365

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