Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = sec ⁡ x ,                     a = 0 ,                     n = 2 ,                   - 0 , 2 ≤ x ≤ 0,2

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 2 precisaremos até a segunda derivada, então derivando e substituindo no centro x = 0

    f = sec ⁡ x ⇒ f 0 = 1

    f ' = sec ⁡ x tg ⁡ x ⇒ f ' 0 = 0

    f ' ' = sec ⁡ x tg 2 ⁡ x + sec 3 ⁡ x ⇒ f ' ' 0 = 1

    Então nosso polinômio é

    T 2 = 1 + 1 2 ! x 2

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da terceira derivada

    f ' ' ' x = sec ⁡ x tg 3 ⁡ x + 2 sec 3 ⁡ x tg ⁡ x + 3 sec 3 ⁡ x tg ⁡ x

    = sec ⁡ x tg 3 ⁡ x + 5 sec 3 ⁡ x tg ⁡ x

    Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo - 0,2 ≤ x ≤ 0,2 , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de f ' ' ' x está crescente, então pra pegarmos o maior valor da função, precisamos do maior valor do intervalo ( 0 , 2 )

    f ' ' ' x ≤ f ' ' ' 0 , 2 ,                     x ∈ [ - 0 . 2 , 0 . 2 ]

    Então podemos usar

    M = f ' ' ' 0,2 = 1 , 08516 …

    Passo 3

    Temos então que

    R 2 x ≤ 1 , 08516 3 ! x 3

    Agora precisamos do valor de x 3 , podemos reescrever o intervalo - 0,2 ≤ x ≤ 0,2 em módulo

    x ≤ 0,2

    Elevando ao cubo

    x 3 ≤ 0,00 8

    Logo

    R 2 x ≤ 1 , 08516 3 ! ( 0,00 8 )

    R 2 x ≤ 0 , 00144 … = 1,4 × 10 - 3

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 2 = x - 2 - T 2

R 2 = sec ⁡ x - 1 + 1 2 ! x 2

R 2 = sec ⁡ x - 1 + 1 2 ! x 2

No plano

Pelo gráfico podemos ver que o erro é menor que 4 × 10 - 4 .

Resposta

  1. T 2 = 1 + x 2 2
  2. R 2 x ≤ = 1,4 × 10 - 3
  3. y = | R 2 ( x ) |

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