Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4             ,         x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

4 x 3 , 4 y 3 , 4 z 3 = 2 x , 2 y , 2 z λ

Beleza, daqui a gente tira que:

4 x 3 = λ 2 x

4 y 3 = λ 2 y

4 z 3 = λ 2 z

E precisamos que

              x 2 + y 2 + z 2 = 1

Vamos isolar o λ nas de cima...

Passo 2

λ = 4 x 3 2 x = 4 y 3 2 y = 4 z 3 2 z

λ = 2 x 2 = 2 y 2 = 2 z 2

Se a gente considerar x ,   y   e   z diferentes de zero, temos:

x 2 = y 2 = z 2

E daí, substituindo na equação

              x 2 + y 2 + z 2 = 1

x 2 + x 2 + x 2 = 1

3 x 2 = 1

x 2 = 1 3

x = ± 1 3

E aí o valor da função seria:

f ± 1 3 ,   ± 1 3 , ± 1 3 = 1 9 + 1 9 + 1 9 = 3 9 = 1 3

Passo 3

Vamos considerar agora que uma das variáveis é zero, ficaria tipo:

y 2 + y 2 = 1

y 2 = 1 2

y = ± 1 2

E aí o valor da função seria 0 + 1 2 4 + 1 2 4 = 1 2

E se for duas iguais a zero e uma diferente?

Aí a gente teria x = ± 1 e o valor da função seria 1.

Então o máximo que a função atinge nessa restrição é 1 e o mínimo é 1 3 .

Resposta

1 3   e   1

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