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Encontre a primeira e segunda derivada da função. Verifique se suas respostas são razoáveis comparando os gráficos de f , f ' e f ' ' .

f x = 2 x - 5 x 3 4

Passo 1

Devemos derivar a função duas vezes para encontrar a primeira e segunda derivada e, daí esboçar seus gráficos. Por fim, precisamos compararos gráficos e ver se eles são razoáveis.

Passo 2

A primeira derivada será

f ' x = 2 - 5 ⋅ 3 4 x - 1 4 = 2 - 15 4 x - 1 4

Já a segunda derivada será

f ' ' x = - 15 4 ⋅ - 1 4 x - 5 4 = 15 16 x - 5 4

Passo 3

Em vermelho o gráfico de f , azul o de f ' e roxo o de f ' ' :

Note que como a curva azul é sempre negativa, a curva vermelha é sempre descrescnte. Por outro lado, como a curva roxa é sempre positiva, a curva azul é sempre crescente, de modo que a curva vermelha tem sempre concavidade para cima. Esse comportamento é bem razoável.

Resposta

f ' x = 2 - 15 4 x - 1 4 , f ' ' x = 15 16 x - 5 4 e esboço de gráficos.

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Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de sua derivada em I-IV. Dê razões para suas escolhas.
Trace o gráfico da função f x = { x 2   ,       - 1 ≤ x < 0 - x 2     ,       0 ≤ x ≤ 1 f   é contínua em x   =   0   ? f é derivável em x   =   0   ?
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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 3 - 2 x     ,   x ≤ 5
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 8 - 3 x     ,   x ≥ 1
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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 4 - x 2                 s e - 2 ≤ x < 0 2 x - 1       s ...
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . f x = 1 + x + 1 2     ,   - 2 ≤ x < 5