Use Lh’hospital para determinar o limite lim x → π 2 -   ⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x  

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’hospital, precisamos deixar nosso limite da forma 0 0 ou ∞ ∞ . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

lim x → ∞     ⁡   x 2 + x + 1 -   x 2 - x =   lim x → ∞     ⁡ x 2 + x + 1 -       l i m x → ∞     x 2 - x =     ⁡ l i m x → ∞     ( x 2 + x + 1 )     -       l i m x → ∞     ( x 2 - x ) =     ∞ - ∞

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido não está forma que desejamos, então antes de aplicar Lh’hospital devemos dá uma modificada. Ou seja, vamos abrir essas contas para deixar 0 0 ou ∞ ∞

lim x → ∞     ⁡   x 2 + x + 1 -   x 2 - x  

=   lim x → ∞     ⁡   x 2 + x + 1 -   x 2 - x ⋅   x 2 + x + 1 +   x 2 - x x 2 + x + 1 +   x 2 - x

=   l i m x → ∞       x 2 + x + 1 - x 2 - x x 2 + x + 1 +   x 2 - x  

=   l i m x → ∞       1 x 2 + x + 1 +   x 2 - x   = 0

Resposta

lim x → ∞     ⁡   x 2 + x + 1 -   x 2 - x = 0

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