Enunciado

Use o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

y = 3 2 x       y = 0 ; x = 1 ; x = 4

Passo 1

Usamos o método da casca cilíndrica para calcular volumes de sólidos de revolução, ou seja, sólidos obtidos pela rotação de uma figura em torno de um eixo.

Podemos integras de x = a a x = b e obteremos o volume fazendo:

V =   ∫ a b 2 π x   f x d x

O enunciado nos fornece f x =   3 2 x = 3 2 x - 1 / 2 . Nos intervalos, y = 0 ; x = 1 ; x = 4 . O que pode ser ilustrado pela imagem abaixo:

Vamos substituir na fórmula:

V =   ∫ 1 4 2 π x   3 2 x - 1 / 2 d x

= 3 π ∫ 1 4 x 1 2 d x = 3 π 2 3 x 3 2 4 1 = 2 π 4 3 2 - 1 = 2 π 8 - 1 = 14 π  

Resposta

14 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um buraco com 2 3 cm de raio é feito através do centro de um sólido esférico com 4 cm de raio. Ache o volume da parte do sólido que foi cortada fora.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região no primeiro quadrante limitada pela curva y = c o s ( x 2 ) e pelos eixos coordenados em torno do eixo y.
A região no primeiro quadrante, limitada pela curva x = c o s y 2 , pelo eixo y, e pelo eixo x, onde 0 ≤ x ≤ 1 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.
Um buraco com 2 cm de raio é feito através de um sólido esférico de 6 cm de raio e o eixo do buraco é um diâmetro da esfera. Ache o volume da parte que sobra da esfera.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva x 2 3+y 2 3 = a 2 3 em torno do eixo y.