Enunciado

Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

y = x ; y = 2 x ; y = 2

Passo 1

Temos a seguinte imagem gráfica:

Temos que a região é limitada pelas curvas y = x ; y = 2 x ; y = 2 . Podemos perceber no gráfico que a variação no eixo y é 0 < y ≤ 1 .Então, podemos concluir que nossa f y = y - y 2 .

Queremos usar o método da casca, porém a rotação agora é em torno do eixo x, logo, devemos usar a seguinte fórmula:

V =   ∫ a b 2 π y   f y d y

Em que f y = f y = y - y 2 = y 2

Substituindo da fórmula acima, temos:

V =   ∫ 0 2 2 π y   y 2 d y

= 2 π ∫ 0 2 1 2 y 2   d y = π ∫ 0 2 y 2 = π y 3 3 2 0 = π 8 3 = 8 π 3  

= 4 π 1 3 = 4 π 1 3 = 4 π 3

Resposta

8 π 3  

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