Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo x da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica.

y = 4 x 2 , 2 x + y = 6

Passo 1

Inicialmente, vamos encontrar as interseções:

y = 4 x 2   2 x + y = 6

Logo,

6 - 2 x = 4 x 2

Assim,

2 x 2 + x - 3 = 0

Resolvendo, temos:

x = 1 ou x = - 3 2

Quando x = 1 :

y = 4

Quando x = - 3 / 2 :

y = 9

Então vamos aplicar o método das cascas entre os pontos 4 e 9 . Esboçando o gráfico, temos:

Passo 2

Então o volume ficará o seguinte:

V = ∫ 4 6 2 π y f y d x - ∫ 4 6 2 π y g y d x + ∫ 6 9 2 π y f y d x - ∫ 6 9 2 π y g y d x

Como 2 x + y = 6 :

x = 6 - y 2

Logo,

f y = 3 - y 2

E para função de baixo, temos:

y = 4 x 2

Isto é,

x 2 = y 4

Assim,

g y = ± y 2

Repare que vamos usar o sinal positivo para o intervalo ( 4,6 ) , pois o x é positivo e o sinal negativo para o intervalo ( 6,9 ) que é quando o x fica negativa. Então vamos lá!

V = ∫ 4 6 2 π y 3 - y 2 d y - ∫ 4 6 2 π y y 2 d y + ∫ 6 9 2 π y 3 - y 2 d y - ∫ 6 9 2 π y - y 2 d y

Passo 3

Arrumando as coisas:

V = 2 π ∫ 4 6 3 y - y 2 2 d x - 1 2 ∫ 4 6 y 3 2 d x + ∫ 6 9 3 y - y 2 2 d x - 1 2 ∫ 6 9 - y 3 2 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Integrando, temos o seguinte:

V = 2 π 3 y 2 2 - y 3 3 ⋅ 2 4 6 - 1 2 y 5 2 5 2 4 6 + 3 y 2 2 - y 3 3 ⋅ 2 6 9 - 1 2 - y 5 2 5 2 6 9

Simplificando,

V = 2 π 3 y 2 2 - y 3 6 4 6 - 1 5 y 5 2 4 6 + 3 y 2 2 - y 3 6 6 9 + 1 5 y 5 2 6 9

Aplicando entre esses pontos e fazendo as contas:

V = 250 3 - 144 6 5 π

Resposta

V = 250 3 - 144 6 5 π

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