Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para achar o volume exato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.

y = s e n ²   x ,     y = s e n 4 x ,                 0 ≤ x ≤ π ;                       e m   t o r n o   d e   x = π / 2

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos desenhar a situação:

Então, nós queremos o volume formado pela rotação da área formada entre estas duas funções.

E como fica o volume usando o método das cascas cilíndricas nestes casos?

V = ∫ a b 2 π ( x - e i x o ) . ( f x - g x ) . d x

Agora vamos olhar mais atentamente, o lado à direita de π / 2 é simétrico à esquerda, então podemos fazer a integral com o intervalo indo de 0 → π / 2 .

Ficou fácil, não? Basta substituirmos porque já temos tudo o que precisamos:

V = ∫ 0 π / 2 2 π x - π 2 . ( s e n 2 x - s e n 4 x ) . d x

Tiramos as constantes:

V = 2 π ∫ 0 π / 2 x - π 2 . ( s e n 2 x - s e n 4 x ) . d x

Usando um sistema de computação algébrica:

V = π 3 32

Resposta

V = π 3 32

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