Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado
Passo 1
Opa, bora resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas seguintes curvas:
Colocando isso em um gráfico temos:

A curva preta é e a vermelha é
Ou seja, essa região azulzinha vai ser rotacionada em torno do eixo . E o volume do sólido que a gente obtém vai ser dado por:
O que falta aqui é a gente encontrar e os limites de integração .
Vamos colocar a mão na massa!
Passo 2
Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre a amplitude delas. Então, vamos subtrair uma equação da outra, fazendo:
Pra determinar os intervalos de integração vamos calcular as intersecções entre as curvas, que são os pontos onde elas se cruzam. Então, vamos igualar as duas funções:
E isolando :
Sendo assim, aplicando método das cascas cilíndricas, substituindo os dados na fórmula do passo , vamos ter:
Passo 3
Colocando as constantes para fora da integral:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Então, nosso volume é:
Prontinho!
Valeu, galera! Até a próxima! ;)