Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado

y = x 2 ,   y = 6 x - 2 x 2  

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas seguintes curvas:

y = x 2

y = 6 x - 2 x 2  

Colocando isso em um gráfico temos:

A curva preta é y = x 2 e a vermelha é y = 6 x - 2 x 2 .

Ou seja, essa região azulzinha vai ser rotacionada em torno do eixo y . O volume do sólido que a gente obtém é dada por:

V = ∫ a b 2 �� x f x d x

O que falta aqui é a gente encontrar f x e os limites de integração.

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre a amplitude delas, ou seja:

f x = ( 6 x - 2 x 2 ) - ( x 2 )

f x = 6 x - 3 x 2

Pra determinar os intervalos de integração vamos calcular as intesecções entre as curvas:

6 x - 2 x 2 = x 2

6 x - x 2 = 0

3 x 2 - x = 0

x = 0   o u   x = 2

Sendo assim, aplicando método das cascas cilíndricas, obtemos:

V =   ∫ 0 3 2 π x   3 x - x 2 d x ∴

Passo 3

Constantes para fora!

V = 2 π ∫ 0 3   3 x 2 - x 3 d x  

Resolvendo a integral:

V = 2 π 3 x 3 3 - x 4 4 0 3 ∴

V = 2 π 3 3 - 3 4 4 ∴

V = 27 π 2  

Prontinho!

Resposta

V = 27 π 2  

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