Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado

y = x^2, y = 6x - 2x^2

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas seguintes curvas:

y = x 2

y = 6 x - 2 x 2  

Colocando isso em um gráfico temos:

A curva preta é y = x 2 e a vermelha é y = 6 x - 2 x 2 .

Ou seja, essa região azulzinha vai ser rotacionada em torno do eixo y . E o volume do sólido que a gente obtém vai ser dado por:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

O que falta aqui é a gente encontrar f x e os limites de integração a ,   b .

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre a amplitude delas. Então, vamos subtrair uma equação da outra, fazendo:

f x = ( 6 x - 2 x 2 ) - ( x 2 )

f x = 6 x - 3 x 2

Pra determinar os intervalos de integração vamos calcular as intersecções entre as curvas, que são os pontos onde elas se cruzam. Então, vamos igualar as duas funções:

6 x - 2 x 2 = x 2

6 x - x 2 = 0

E isolando x :

3 x 2 - x = 0

x = 0   o u   x = 2

Sendo assim, aplicando método das cascas cilíndricas, substituindo os dados na fórmula do passo 1 , vamos ter:

V =   ∫ 0 2 2 π x   3 x - x 2 d x ∴

Passo 3

Colocando as constantes para fora da integral:

V = 2 π ∫ 0 2 3 x 2 - x 3 d x  

Integrando em relação a x :

V = 2 π 3 x 3 3 - x 4 4 0 2

Aplicando os limites de integração:

V = 2 π 2 3 - 2 4 4

Simplificando:

V = 2 π 8 - 4

Então, nosso volume é:

V = 8 π

Prontinho!

Valeu, galera! Até a próxima! ;)

Resposta

V = 8 π

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