Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 ∞ 1 x 4 d x  

Passo 1

Fala aí! Tudo bom?! Bora resolver uma integralzinha! Aqui temos:

∫ 0 ∞ 1 x 4 d x  

O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

O que temos em mãos é uma integral imprópria do tipo 1, a gente sabe disso pois um dos seus limites de integração é infinito.

Por definição temos que:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?

A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!

Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!

Passo 2

Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:

∫ 0 ∞ 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t 1 x 4 d x

Pra calcular essa integral vamos ignorar os limites e fazer de conta que ela é uma integral indefinida. Depois a gente volta com os intervalos direitinho, ok?!

Temos então:

∫ 1 x 4 d x

∫ 1 x 4 d x = ∫ x - 1 4 d x

Agora podemos usar a regra da potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Então:

∫ x - 1 4 d x = x - 1 4 + 1 - 1 4 + 1 + C

∫ x - 1 4 d x = 4 3 x 3 4 + C

Passo 3

Agora vamos voltar aos limites de integração:

∫ 0 t x - 1 4 d x = 4 3 x 3 4 0 t = 4 3 t 3 4

Lembrando que queríamos calcular:

∫ 0 ∞ 1 x 4 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t 1 x 4 d x

Então precisamos avaliar:

l i m t → ∞ 4 3 t 3 4

Essa é uma função exponencial, então quando t vai para infinito temos:

l i m t → ∞ 4 3 t 3 4 = ∞

Portanto a integral é divergente!

Resposta

∫ 0 ∞ 1 x 4 d x   diverge

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