Enunciado

Use o método do Exemplo 3 para ajudar a efetuar a derivação indicada:

d d x l n [ ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) ]

Passo 1

Como estamos estudando “Derivadas de Funções Logarítimicas”. As propriedade de logaritmo devem ser usadas antes de diferenciar a função envolvendo logaritmo.

Observe a estrutura da função a ser diferenciada:

d d x l n [ ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) ]

Como a função está expressa em termos de logaritmo, usaremos as propriedades de logaritmo ao nosso favor. E aqui vamos usar duas propriedades de logaritmo importantes:

Aplicando essas propriedades na função:

d d x l n ⁡ ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) = d d x [ 2 . ln ⁡ c o s ⁡ ( x ) + 1 2 . ln ⁡ 1 + x 4 ]

O resultado dessa derivada é a soma das derivadas dos logaritmos naturais:

d d x l n ⁡ ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) = d d x 2 . ln ⁡ c o s ⁡ ( x ) + d d x [ 1 2 . ln ⁡ 1 + x 4 ]

Calcularemos essas derivadas separadamente, chamando as subfunções de A e B :

A = d d x 2 . ln ⁡ c o s ⁡ ( x )

B = d d x [ 1 2 . ln ⁡ 1 + x 4 ]

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a derivada A :

A = d d x 2 . ln ⁡ c o s ⁡ ( x )

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = 2 . l n ⁡ ( u )

f ' u = 1 u

u = c o s ⁡ ( x )

u ' = - s e n ( x )

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

A ' = 2 . 1 u . - s e n x = - 2 . s e n x cos ⁡ x = - 2 t g ( x )

Reorganizando a fórmula, temos:

A ' = - 2 t g ( x )

Passo 3

Agora, vamos resolver a derivada B :

B = d d x [ 1 2 . ln ⁡ 1 + x 4 ]

Usaremos a Regra da Cadeia, onde:

y ' = f ' u . u '

E os termos e resolvendo as derivadas:

f u = 1 2 . l n ⁡ ( u )

f ' u = 1 2 u

u = ( 1 + x 4 )

u ' = 4 x 3

Aplicando na Regra da Cadeia :

y ' = f ' u . u '

B ' = 1 2 u . 4 x 3 = 4 x 3 2 ( 1 + x 4 )

Simplificando temos:

B ' = 2 x 3 ( 1 + x 4 )

Passo 4

Retornando para o foco principal do problema, a resolução da diferenciação logarítmica :

d d x l n ⁡ ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) = d d x 2 . ln ⁡ c o s ⁡ ( x ) + d d x [ 1 2 . ln ⁡ 1 + x 4 ]

d d x l n ⁡ ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) = A ' + B '

d d x l n ⁡ ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) = - 2 t g x + 2 x 3 ( 1 + x 4 )

Resposta

d d x l n ( cos 2 ⁡ ( x ) ) ( 1 + x 4 ) = - 2 t g x + 2 x 3 ( 1 + x 4 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule f ' x . f x = 2 x
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = ln ⁡ x no ponto de abscissa 1 . Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
Calcule g ' x g x = log 3 ⁡ x
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x = e x no ponto de abscissa 0 .
Seja g x = log a ⁡ x , em que a0 e a ≠ 1 é constante. Mostre que g ' x = 1 x ln ⁡ a .