Encontre dy / dx :

y = x^2 / (1 + log(x))

Passo 1

Muito bem, para resolver essa diferenciação precisamos obervar que existe uma função dividindo outra função. O que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Quociente. Para isso, vamos renomear as duas funções chamando-as de f ( x ) e g ( x ) . Aqui, chamaremos:

f x = x 2

g x = 1 + l o g ⁡ ( x )

A Regra do Quociente pode ser dada pela seguinte fórmula:

f g = f ' g - g ' f g 2

Já sabemos como calcular a derivada de y em relação a x , mas para facilitar calcularemos cada derivada separadamente. Isso significa que vamos precisar da derivada de f e g , certo?

Passo 2

Derivaremos primeiro a função f x , que basicamente é um polinômio, a derivada de um polinômio pode ser dada pela seguinte fórmula:

d [ x n ] d x = n x n - 1

Se:

f x = x 2

A derivada será:

d [ x 2 ] d x = f ' ( x ) = 2 x 2 - 1 = 2 x

f ' x = 2 x

Para facilitar a nomenclatura, chamaremos a derivada de f ' x .

Agora, nós derivamos a função g x , e chamaremos sua derivada de g ' x .

Temos que :

g x = 1 + l o g ⁡ ( x )

Só para relembrar alguns conceitos de propriedades de derivadas que serão usados para resolução de g ' x :

Primeiro: A derivada de uma constante n é sempre zero.

Segundo: A derivada de um logaritmo pode ser dada por:

y = l o g a x

d y d x = 1 x . l o g e a = 1 x . l n ⁡ ( a )

No caso da nossa derivada, A função g x é composta por dois termos, e a derivada de uma função com mais de um termo é a soma das derivadas. Fica assim:

d [ 1 + l o g ⁡ ( x ) ] d x = g ' x = d [ 1 ] d x + d [ l o g ⁡ ( x ) ] d x

Aplicando os conceitos de derivada, temos:

g ' ( x ) = 0 + 1 x . l n ⁡ ( 10 )

g ' x = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

Agora, podemos aplicar os valores calculados na Regra do Quociente.

Passo 3

Como nós calculamos que: f x = x 2

f ' x = 2 x

E

g x = 1 + l o g ⁡ ( x )

g ' x = 1 x . l n ⁡ ( 10 )

Agora, aplicamos na fórmula do quociente:

d y d x = f g = f ' g - g ' f g 2

d y d x = 2 x . 1 + log ⁡ x - 1 x . ln ⁡ 10 . x 2 1 + l o g ⁡ ( x ) 2

Podemos fazer alguns cortes de termos iguais na equação, o resultado da derivada é:

d y d x = 2 x . 1 + log ⁡ x - 1 ln ⁡ 10 . x 1 + l o g ⁡ ( x ) 2

Foi tranquilo, né?

Resposta

d y d x = 2 x . 1 + log ⁡ x - x ln ⁡ 10 1 + l o g ⁡ ( x ) 2

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