Enunciado

Encontre (d y)/(d x) :

y = (x^2)/(1 + l o g ( x ))

Passo 1

Muito bem, para resolver essa diferenciação precisamos obervar que existe uma função dividindo outra função. O que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Quociente. Para isso, vamos renomear as duas funções chamando-as de f ( x ) e g ( x ) . Aqui, chamaremos:

f (x) = x^2

g (x) = 1 + l o g ( x )

A Regra do Quociente pode ser dada pela seguinte fórmula:

((f)/(g)) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

Já sabemos como calcular a derivada de y em relação a x , mas para facilitar calcularemos cada derivada separadamente. Isso significa que vamos precisar da derivada de f e g , certo?

Passo 2

Derivaremos primeiro a função f (x) , que basicamente é um polinômio, a derivada de um polinômio pode ser dada pela seguinte fórmula:

(d [ x^n ])/(d x) = n x^(n - 1)

Se:

f (x) = x^2

A derivada será:

(d [ x^2 ])/(d x) = f^' ( x ) = 2 x^(2 - 1) = 2 x

f^' (x) = 2 x

Para facilitar a nomenclatura, chamaremos a derivada de f ' (x) .

Agora, nós derivamos a função g (x) , e chamaremos sua derivada de g ' (x) .

Temos que :

g (x) = 1 + l o g ( x )

Só para relembrar alguns conceitos de propriedades de derivadas que serão usados para resolução de g ' (x) :

Primeiro: A derivada de uma constante n é sempre zero.

Segundo: A derivada de um logaritmo pode ser dada por:

y = l o g_a x

(d y)/(d x) = (1)/(x . l o g_e a) = (1)/(x . l n ( a ))

No caso da nossa derivada, A função g (x) é composta por dois termos, e a derivada de uma função com mais de um termo é a soma das derivadas. Fica assim:

(d [ 1 + l o g ( x ) ])/(d x) = g ' (x) = (d [ 1 ])/(d x) + (d [ l o g ( x ) ])/(d x)

Aplicando os conceitos de derivada, temos:

g^' ( x ) = 0 + (1)/(x . l n ( 10 ))

g^' (x) = (1)/(x . l n ( 10 ))

Agora, podemos aplicar os valores calculados na Regra do Quociente.

Passo 3

Como nós calculamos que: f (x) = x^2

f^' (x) = 2 x

E

g (x) = 1 + l o g ( x )

g^' (x) = (1)/(x . l n ( 10 ))

Agora, aplicamos na fórmula do quociente:

(d y)/(d x) = ((f)/(g)) = (f^' g - g ' f)/(g^2)

(d y)/(d x) = ([2 x . (1 + log (x))] - [((1)/(x . ln (10))) . x^2])/([1 + l o g ( x )]^2)

Podemos fazer alguns cortes de termos iguais na equação, o resultado da derivada é:

(d y)/(d x) = ([2 x . (1 + log (x))] - [((1)/(ln (10))) . x])/([1 + l o g ( x )]^2)

Foi tranquilo, né?

Resposta

(d y)/(d x) = ([2 x . (1 + log (x))] - [((x)/(ln (10)))])/([1 + l o g ( x )]^2)

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Calcule g^' (x) g (x) = ln x
Seja f x = a x , em a0 e a a ≠ 1 é um real dado. Mostre que f ' x = a x l na .
Calcule f^' (x) .f (x) = e^x
Ache (d y)/(d x) y = e^(- 7 x)
Ache (d y)/(d x) y = e^(- 3 x^2)