Enunciado

Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada

t y ' ' - y ' = t 2 ,   y 0 = 0

Passo 1

Oieee, vamos lá?

Temos essa equação aqui:

t y ' ' - y ' = t 2 ,   y 0 = 0

E para encontrarmos sua solução, vamos usar a transformada de Laplace e também o teorema 7.7 aí do seu livro, que diz o seguinte:

L t n f t = - 1 n d n d s n F ( s )

Onde F s = L { f t }

Vamos também lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

t y ' ' - y ' = t 2

Como sabemos que L t n f t = - 1 n d n d s n F ( s ) , então L t . y ' ' = - 1 1 d 1 d s 1 L { y ' ' } , dessa forma, a nossa transformada vai ficar assim:

- 1 . d d s . s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - s . Y s - y 0 = 2 s ³

Sabemos que y 0 = 0 :

- 1 . d d s . s 2 . Y s - s . 0 - y ' 0 - s . Y s - 0 = 2 s ³

- d d s . s 2 . Y s - y ' 0 - s Y ( s ) = 2 s ³

Agora vamos derivar o que está ali dentro do parênteses. Para o primeiro termo, vamos usar regra do produto, enquanto a derivada do termo y ' 0 vai zerar (é uma constante):

- d d s s 2 . Y s + s 2 . d d s Y s - s Y s = 2 s 3

- 2 s . Y s + s 2 . d d s Y s - s Y s = 2 s 3

- 2 s . Y s - s 2 . d d s Y s - s Y s = 2 s 3

Juntando os termos em comum:

- s 2 . d d s Y s - 3 s Y s = 2 s 3

Dividindo tudo por - s ² :

d d s Y s + 3 s Y s = - 2 s 5

Aiaiaiai e vamos lá encontrar esse Y ( s ) através dessa equação diferencial

Passo 3

Ó que belezinha a equação diferencial que temos aqui:

d d s Y s + 3 s Y s = - 2 s 5       ( I )

Embora a transformada de Laplace nos ajude justamente a não ter que utilizar aquelas técnicas do começo do livro, aqui no caso vamos ter que usar ta bom?

Isso aí é uma equação diferencial linear, pois pode ser escrita no formato

d Y d s + A s . Y ( s ) = B s

Sabemos que a resolução de uma equação diferencial linear é dada por

Y ( s ) = 1 I s ∫ I s . B s   d s + c     ( I I )

Onde I s = e ∫ A s   d s

Na nossa equação ( I ) , temos A s = 3 s e B s = - 2 s 5 então:

I s = e ∫ 3 s   d s

I s = e 3 ln ⁡ s

I s = ( e ln ⁡ s ) ³

I s = s ³

Belezinha, já encontramos nosso fator de integração, vamos continuar que ainda falta achar a resolução da EDO a partir disso beleza?

Passo 4

Vamos substituir I s = s ³ e B s = - 2 s 5 na equação ( I I ) :

Y ( s ) = 1 s ³ ∫ - s 3 . 2 s 5   d s + c

Y ( s ) = 1 s ³ ∫ - 2 s 2   d s + c

Y ( s ) = 1 s ³ 2 s + c

Então:

Y s = 2 s 4 + c s 3

Uhuuuuu!! Agora é só encontrarmos a transformada inversa disso!!

Passo 5

A solução no domínio s é:

Y s = 2 s 4 + c s 3

Podemos manipular escrevendo assim:

Y s = 1 3 . 3 . 2 s 4 + 1 2 2 c s 3

Y s = 1 3 . 3 ! s 4 + c 2 2 ! s 3

De acordo com o que vimos lá no passo 1, a transformada inversa é:

y t = 1 3 t 3 + c 2 t ²

Resposta

y t = 1 3 t 3 + c 2 t ²

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