Enunciado

Use o Método de Newton para aproximar, com duas casas decimais, as coordenadas x dos pontos de inflexão da função:

f x = e - x 1 + x 2

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

Lembra que ponto de inflexão é quando a derivada segunda dá zero né? Então a gente tem que começar derivando essa função aí:

f ' x = - e - x 1 + x 2 - e - x 2 x 1 + x 2 2

f ' x =   - e - x 1 + x 2 + 2 x 1 + x 2 2

A gente tem que derivar de novo agora...

Passo 2

f ' ' x = x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 4 x - 1 e x 1 + x 2 3

Pra achar os pontos de inflexão, precisamos dos pontos onde essa função zera. Pra ser mais exato, precisamos dos pontos onde:

x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 4 x - 1 = 0

Vamos dar uma olhada no gráfico pra a gente poder saber onde mais ou menos está o ponto...

Pelo gráfico a gente vê que os pontos estão próximos de x = - 0,5   e x = 1 . Vamos aproximar isso pelo método de Newton...

Passo 3

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n

Vamos usar o x 1 = - 0,5 primeiro.

Sendo que a nossa g x =   x 4 + 4 x 3 + 8 x 2 + 4 x - 1 .

Vamos derivar:

g ' x = 4 x 3 + 12 x 2 + 16 x + 4

E aplicar na fórmula:

x 2 =   - 0,5 - - 0,5 4 + 4 - 0,5 3 + 8 - 0,5 2 + 4 - 0,5 - 1 4 - 0,5 3 + 12 - 0,5 2 + 16 - 0,5 + 4 =   - 1,46

x 3 = - 1,09

x 4 = - 1,00

Então o nosso primeiro ponto de inflexão tá ali, próximo do x = - 1 .

Ponto de inflexão: - 1 ,     1,36 .

Passo 4

Vamos ver o outro ponto de inflexão agora. Vamos usar x 1 = 1 . Teremos:

x 2 = 0,56

x 3 = 0,30

x 4 = 0,20

x 5 = 0,18

Vamos parar por aqui agora. Nosso outro ponto de inflexão então fica aproximadamente em:

( 0,18 ,   0,81 )

Prontinho😊

Resposta

Pontos de inflexão: - 1 ,     1,36 e ( 0,18 ,   0,81 )

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