Enunciado

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = x 3 + x 2 - 8 x + 5

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, calculamos a segunda derivada e igualamos a 0, para determinar se os pontos são de máximo ou mínimo.

Passo 2

Derivando a equação acima, teremos:

y ' = 3 x 2 + 2 x - 8

Passo 3

Para determinarmos os valores extremos, precisamos identificar os pontos críticos:

y ' = 0

3 x 2 + 2 x - 8 = 0

Δ = 2 2 - 4 × 3 × - 8 = 100

- 2 ± 100 2 × 3

x 1 = 4 3       x 2 =   - 2

Passo 4

Substituindo na equação original, poderemos analisar quais pontos correspondem a mínimos e máximos.

y 4 3 = 4 3 3 + 4 3 2 - 8 × 4 3 + 5 = - 1,5815

y - 2 = - 2 3 + - 2 2 - 8 × - 2 + 5 = 17

Passo 5

Fazendo a segunda derivada e igualando-a a 0, teremos:

y ' ' = 6 x + 2

6 x + 2 = 0

x = - 1 3

Como o ponto é negativo, indica um ponto de mínimo local. Sendo assim, o outro corresponde a um máximo local, uma vez que a função é contínua e seus extremos tendem a ∞ .

Passo 6

Já temos os pares ordenados que corresponderão aos pontos críticos. Basta classifica-los agora.

Resposta

M í n i m o   L o c a l   e m   x 1 = 4 3     e   M á x i m o   L o c a l   e m   x 2 =   - 2    

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