Enunciado

Use o método de Newton para aproximar o numero dado para oito casas decimais.

500 8

Passo 1

Bom pessoal, o método de Newton é dado por:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Então, devemos substituir os valores de x para encontrar a aproximação seguinte. Porém, precisamos encontrar a função para o numero dado.

x = 500 8

x 8 = 500

x 8 - 500 = 0

Temos a função. Vamos precisar também de sua derivada:

f x = x 8 - 500

f ' x = 8 x 7

Para estimar a aproximação inicial x 1 , vamos ver qual raiz oitava inteira mais proxima de 500. Veja que:

2 = 256 8

Portanto, é razoavel usar x 1 = 2 como primeiro valor. Vamos agora aplicar o método:

x 2 = x 1 - x 8 - 500 8 x 7

Sendo x 1 = 2 :

f 2 = - 244

f ' 2 = 1024

Aplicando o método:

x 2 = 2 - - 244 1024 = 2,23828125

Passo 2

Vamos agora repetir o passo anterior para encontrar x 3 .

f 2,23828125 = 129,9662

f ' 2,23828125 = 2251,607

Aplicando o método:

x 3 = 2,23828125 - 129,9662 2251,607

x 3 = 2,18055972

Passo 3

Vamos agora repetir o passo anterior para encontrar x 4 .

f 2,18055972 = 11,1447

f ' 2,18055972 = 1875,279

Aplicando o método:

x 4 = 2,18055972 - 11,1447 1875,279

x 4 = 2,174616765

Passo 4

Vamos agora repetir o passo anterior para encontrar x 5 .

f 2,174616765 = 0,1058

f ' 2,174616765 = 1839,7936

Aplicando o método:

x 5 = 2,174616765 - 0,1058 1839,7936

x 5 = 2,17455926

Ao substituir x 5 em f ( x ) , encontramos um valor muito próximo de zero: -0,0000295. Portanto, esta já é uma aproximação muito boa.

Resposta

x 5 = 2,17455926

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