Enunciado

Use o método de Newton para aproximar o numero dado para oito casas decimais.

75 4

Passo 1

Bom pessoal, o método de Newton é dado por:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Então, devemos substituir os valores de x para encontrar a aproximação seguinte. Porém, precisamos encontrar a função para o numero dado.

x = 75 4

x 4 = 75

x 4 - 75 = 0

Temos a função. Vamos precisar também de sua derivada:

f x = x 4 - 75

f ' x = 4 x 3

Para estimar a aproximação inicial x 1 , vamos ver qual raiz quarta inteira mais proxima de 75. Veja que:

3 = 81 4

Portanto, é razoavel usar x 1 = 3 como primeiro valor. Vamos agora aplicar o método:

x 2 = x 1 - x 4 - 75 4 x 3

Sendo x 1 = 3 :

f 3 = 6

f ' 3 = 108

Aplicando o método:

x 2 = 3 - 6 108 = 2,94444444

Passo 2

Vamos agora repetir o passo anterior para encontrar x 3 .

f 2,94444444 = 0,1646

f ' 2,94444444 = 102,1104

Aplicando o método:

x 3 = 2,94444444 - 0,1646 102,1104

x 3 = 2,94283246

Passo 3

Vamos agora repetir o passo anterior para encontrar x 4 .

f 2,94283246 = 0,0002

f ' 2,94283246 = 101,9428

Aplicando o método:

x 4 = 2,94283246 - 0,0002 101,9428

x 4 = 2,94283050

Ao substituir x 4 em f ( x ) , encontramos um valor muito próximo de zero: -0,000046. Portanto, esta já é uma aproximação muito boa.

Resposta

x 4 = 2,94283050

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