Enunciado

Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz de x 4 + x - 4 = 0 no intervalo 1,2

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 4 + x - 4 ' = 4 x 4 - 1 + x 1 - 1 - 0 = 4 x 3 + 1

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 4 + x n - 4 4 x n 3 + 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 1,5 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 4 + x 1 - 4 4 x 1 3 + 1 = 1,5 - 1,5 4 + 1,5 - 4 4 . 1,5 3 + 1 ≈ 1,323276

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 4 + x 2 - 4 4 x 2 3 + 1 = 1,323276 - 1,323276 4 + 1,323276 - 4 4 . 1,323276 3 + 1 ≈ 1,285346

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 4 + x 3 - 4 4 x 3 3 + 1 = 1,285346 - 1,285346 4 + 1,285346 - 4 4 . 1,285346 3 + 1 ≈ 1,283784

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 4 + x 4 - 4 4 x 4 3 + 1 = 1,283784 - 1,283784 4 + 1,283784 - 4 4 . 1,283784 3 + 1 ≈ 1,283782

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 4 + x 5 - 4 4 x 5 3 + 1 = 1,283782 - 1,283782 4 + 1,283782 - 4 4 . 1,283782 3 + 1 ≈ 1,283782

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,283782 .

Resposta

A raiz é 1,283782 .

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