Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^1 x^2 (1 + 2 x^3)^5 d x

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema queremos calcular a integral dada por

int_0^1 x^2 (1 + 2 x^3)^5 d x

Parece complicado?

Devemos aqui calcular a integral definida usando algum tipo de substituição.

É importante lembrar que quando fazemos uma substituição numa integral definida, podemos mudar também os extremos de integração.

Acredite em mim, isso pode salvar vidas!!! hehehehe

Aqui, observe que a derivada do termo dentro dos parênteses está do lado de fora. Assim, somos levados a tomar u = 1 + 2 x^3 , de modo que d u = 6 x^2 d x .

Veja só!

Passo 2

Temos então que x^2 d x = d u // 6 . Além disso, quando x = 0 , u = 1 e para x = 1 => u = 3 . Desta forma, fazendo a mudança de variável na integral:

int_0^1 x^2 (1 + 2 x^3)^5 d x = (1)/(6) int_1^3 u^5 d u = (1)/(6) [(u^6)/(6)]_1^3

Assim, se u = 1 + 2 x^3 , temos

int_0^1 x^2 (1 + 2 x^3)^5 d x = (1)/(36) (3^6 - 1^6)

int_0^1 x^2 (1 + 2 x^3)^5 d x = (1)/(36) (729 - 1) = (728)/(36)

Simplificando...

int_0^1 x^2 (1 + 2 x^3)^5 d x = (182)/(9)

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

(182)/(9)

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