Enunciado

Use o método de Newton para encontrar as coordenadas do ponto de inflexão da curva y = e cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π , com precisão de seis casas decimais.

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula, entretanto já que queremos achar o ponto de inflexão de f devemos achar os zeros de f ' , então a fórmula fica :

x n + 1 = x n - f ' x n f ' ' x n

Primeiro temos que f x = e cos ⁡ x

Vamos agora precisar de f ' x e f ' ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, a da função trigonométrica, do produto e da função exponencial:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

e f x ' = e f x . f ' ( x )

Vamos calcular f ' x e f ' ' x :

f ' x = e cos ⁡ x ' = e cos ⁡ x - sen ⁡ x = - e cos ⁡ x sen ⁡ x

f ' ' x = - e cos ⁡ x sen ⁡ x ' ' = - e cos ⁡ x . - sen ⁡ x sen ⁡ x + - e cos ⁡ x cos ⁡ x = e cos ⁡ x sen 2 ⁡ x - e cos ⁡ x cos ⁡ x

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x e f ' ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f ' x n f ' ' x n → x n + 1 = x n - - e cos ⁡ x n sen ⁡ x n e cos ⁡ x n sen 2 ⁡ x n - e cos ⁡ x n cos ⁡ x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo, vamos usar x 1 = 1 , pronto, agora é só substituir, vai ser cansativo, mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - - e cos ⁡ x 1 sen ⁡ x 1 e cos ⁡ x 1 sen 2 ⁡ x 1 - e cos ⁡ x 1 cos ⁡ x 1 ≈ 0,904173

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - - e cos ⁡ x 2 sen ⁡ x 2 e cos ⁡ x 2 sen 2 ⁡ x 2 - e cos ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 ≈ 0,904557

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - - e cos ⁡ x 3 sen ⁡ x 3 e cos ⁡ x 3 sen 2 ⁡ x 3 - e cos ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 ≈ 0,904557

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,9045574 .

Vamos calcular f 0,904557 para ter o ponto de inflexão:

f 0,904557 = 1,855277

Resposta

O ponto de inflexão é 0,904557   ,   1,855277 .

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