Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.

x 2 2 - x - x 2 = 1

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = x 2 2 - x - x 2 - 1

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante, da cadeia, do produto e do polinômio:

c ' = 0

F ' x = f ' g x . g ' x

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 2 2 - x - x 2 - 1 ' = x 2 2 - x - x 2 1 2 - 1 ' = 2 x 2 - 1 2 - x - x 2 1 2 + x 2 1 2 2 - x - x 2 1 2 - 1 0 - x 1 - 1 - 2 x 2 - 1 - 0 = 2 x 2 - x - x 2 + x 2 - 1 - 2 x 2 2 - x - x 2 = 8 x - 5 x 2 - 6 x 3 2 2 - x - x 2

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 2 2 - x n - x n 2 - 1 8 x n - 5 x n 2 - 6 x n 3 2 2 - x n - x n 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = - 0,8 e x = - 1,95 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = - 1,95 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 2 - x 1 - x 1 2 - 1 8 x 1 - 5 x 1 2 - 6 x 1 3 2 2 - x 1 - x 1 2 ≈ - 1,98580357

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 2 - x 2 - x 2 2 - 1 8 x 2 - 5 x 2 2 - 6 x 2 3 2 2 - x 2 - x 2 2 ≈ - 1,97899778

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 2 - x 3 - x 3 2 - 1 8 x 3 - 5 x 3 2 - 6 x 3 3 2 2 - x 3 - x 3 2 ≈ - 1,97807848

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 2 2 - x 4 - x 4 2 - 1 8 x 4 - 5 x 4 2 - 6 x 4 3 2 2 - x 4 - x 4 2 ≈ - 1,97806682

Vamos com x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 2 2 - x 5 - x 5 2 - 1 8 x 5 - 5 x 5 2 - 6 x 5 3 2 2 - x 5 - x 5 2 ≈ - 1,97806681

Agora com x 7 :

x 6 + 1 = x 7 = x 6 - x 6 2 2 - x 6 - x 6 2 - 1 8 x 6 - 5 x 6 2 - 6 x 6 3 2 2 - x 6 - x 6 2 ≈ - 1,97806681

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 1,97806681 .

Passo 4

Agora com x 1 = - 0,8 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 2 - x 1 - x 1 2 - 1 8 x 1 - 5 x 1 2 - 6 x 1 3 2 2 - x 1 - x 1 2 ≈ - 0,82674444

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 2 - x 2 - x 2 2 - 1 8 x 2 - 5 x 2 2 - 6 x 2 3 2 2 - x 2 - x 2 2 ≈ - 0,82646236

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 2 - x 3 - x 3 2 - 1 8 x 3 - 5 x 3 2 - 6 x 3 3 2 2 - x 3 - x 3 2 ≈ - 0,82646233

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 2 2 - x 4 - x 4 2 - 1 8 x 4 - 5 x 4 2 - 6 x 4 3 2 2 - x 4 - x 4 2 ≈ - 0,82646233

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é - 0,82646233 .

Resposta

As raizes da equação são - 1,97806681 e - 0,82646233 .

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Esboce o gráfico. f x = x 3 - x 3
Esboce o gráfico. y = x x + 1
Esboce o gráfico. f x = x 3 - 3 x 2 + 3 x
Esboce o gráfico. y = x 4 4 - 3 x 2 2 + 2 x + 1
Esboce o gráfico. y = x 3 x 2 + 4