Enunciado

  1. Use o método de Newton para encontrar os números críticos da função f x = 3 x 4 - 28 x 3 + 6 x 2 + 24 x .

Passo 1

Os pontos críticos ocorrerão quando a derivada da função for igual a zero. Derivando a função, temos:

f ' x = 12 x 3 - 84 x 2 + 12 x + 24

Então queremos encontrar as raízes de f ' ( x ) pelo método de Newton. Vamos tentar primeiro descobrir onde se encontram as raízes, aproximadamente. Um polinômio de 3 grau pode ter 1 ou 3 raízes reais. Vamos olhar o valor da função em alguns pontos para analizar seu sinal.

f ' - 2 = - 432

f ' - 1 = - 84

f 0 = 24

f 1 = - 60

Podemos ver que a função troca de sinal entre -1 e 0 e entre 0 e 1. Temos então uma raiz em ( - 1 ,   0 ) e outra em ( 0 ,   1 ) . Falta uma raiz. Como a função deve ser positiva no infinito, em algum lugar acima de x = 1 ela deve voltar a ser positiva. Continuando a analizar os valores da função vemos que:

f ' 6 = - 336

f ' 7 = 108

Então a outra raiz está em ( 6 ,   7 ) .

Passo 2

Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n

Temos:

g x = f ' x = 12 x 3 - 84 x 2 + 12 x + 24

g ' x = f ' ' x = 36 x 2 - 168 x + 12

Então a fórmula fica:

x n + 1 = x n - 12 x n 3 - 84 x n 2 + 12 x n + 24 36 x n 2 - 168 x n + 12

Agora vamos escolher uma aproximação inicial para cada raiz e aplicar o método.

Passo 3

Para a raiz entre -1 e 0 vamos usar x 1 = - 0,5 como aproximação inicial.

x 1 = - 0.5

x 2 = - 0.5 - 12 - 0.5 3 - 84 - 0.5 2 + 12 - 0.5 + 24 36 - 0.5 2 - 168 - 0.5 + 12 = - 0.45714

x 3 = - 0.45714 - 12 - 0.45714 3 - 84 - 0.45714 2 + 12 - 0.45714 + 24 36 - 0.45714 2 - 168 - 0.45714 + 12 = - 0.45520

x 4 = - 0.45520 - 12 - 0.45520 3 - 84 - 0.45520 2 + 12 - 0.45520 + 24 36 - 0.45520 2 - 168 - 0.45520 + 12 = - 0.45520

x 3 e x 4 são iguais até a quarta casa decimal, então:

r 1 = - 0.445

Passo 4

Agora para a raiz entre 0 e 1, vamos usar a aproximação inicial x 1 = 0,5 .

x 1 = 0.5

x 2 = 0.5 - 12 0.5 3 - 84 0.5 2 + 12 0.5 + 24 36 0.5 2 - 168 0.5 + 12 = 0.66666

x 3 = 0.66666 - 12 0.66666 3 - 84 0.66666 2 + 12 0.66666 + 24 36 0.66666 2 - 168 0.66666 + 12 = 0.64550

x 4 = 0.64550 - 12 0.64550 3 - 84 0.64550 2 + 12 0.64550 + 24 36 0.64550 2 - 168 0.64550 + 12 = 0.64517

x 3 e x 4 são iguais até a quarta casa decimal, então:

r 2 = 0,645

Passo 5

Fazemos o mesmo procedimento para achar a outra raiz, escolhedo inicialmente x 1 = 6.5

x 1 = 6.5

x 2 = 6.5 - 12 6.5 3 - 84 6.5 2 + 12 6.5 + 24 36 6.5 2 - 168 6.5 + 12 = 6.84353

x 3 = 6.84353 - 12 6.84353 3 - 84 6.84353 2 + 12 6.84353 + 24 36 6.84353 2 - 168 6.84353 + 12 = 6.81036

x 4 = 6.81036 - 12 6.81036 3 - 84 6.81036 2 + 12 6.81036 + 24 36 6.81036 2 - 168 6.81036 + 12 = 6.81003

x 3 e x 4 são iguais até a quarta casa decimal, então:

r 3 = 6,810

Resposta

r 1 = - 0,445

r 2 = 0,645

r 3 = 6,810

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