Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.9 - Ex. 35a
- Use o método de Newton para encontrar os números críticos da função .
Passo 1
Os pontos críticos ocorrerão quando a derivada da função for igual a zero. Derivando a função, temos:
Então queremos encontrar as raízes de pelo método de Newton. Vamos tentar primeiro descobrir onde se encontram as raízes, aproximadamente. Um polinômio de 3 grau pode ter 1 ou 3 raízes reais. Vamos olhar o valor da função em alguns pontos para analizar seu sinal.
Podemos ver que a função troca de sinal entre -1 e 0 e entre 0 e 1. Temos então uma raiz em e outra em . Falta uma raiz. Como a função deve ser positiva no infinito, em algum lugar acima de ela deve voltar a ser positiva. Continuando a analizar os valores da função vemos que:
Então a outra raiz está em .
Passo 2
Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:
Temos:
Então a fórmula fica:
Agora vamos escolher uma aproximação inicial para cada raiz e aplicar o método.
Passo 3
Para a raiz entre -1 e 0 vamos usar como aproximação inicial.
e são iguais até a quarta casa decimal, então:
Passo 4
Agora para a raiz entre 0 e 1, vamos usar a aproximação inicial .
e são iguais até a quarta casa decimal, então:
Passo 5
Fazemos o mesmo procedimento para achar a outra raiz, escolhedo inicialmente
e são iguais até a quarta casa decimal, então: