Enunciado

Para a função custo e demanda dada, encontre o nível de produção que maximizará o lucro.

C x = 1450 + 36 x - x 2 + 0,001 x 3 ,           p x = 60 - 0,01 x

Passo 1

A função lucro é dada pela diferença entre a receita total e o lucro total:

L x = R x - C ( x )

Para que haja um máximo dessa função, sabemos que a derivada deve ser igual a zero. Temos então:

L ' x = 0 ⇒ R ' x - C ' x = 0

⇒ R ' x = C ' ( x )

Isso significa que a receita marginal R ' ( x ) e C ' ( x ) devem ser iguais. Para que o ponto seja de fato um máximo, sabemos que devemos ter também uma concavidade para baixo, ou seja, a segunda derivada do lucro deve ser negativa. Então:

L ' ' x < 0 ⇒ R ' ' x - C ' ' x < 0

⇒ R ' ' x < C ' ' ( x )

Satisfazendo então essas duas condições, teremos o lucro maximizado.

Passo 2

O enunciado nos dá a função custo total C ( x ) e o preço por item p x = 60 - 0,01 x . A receita total é o preço por item vezes a quantidade vendida:

R x = p x ⋅ x = 60 - 0,01 x x = 60 x - 0,01 x 2

Para cumprir a primeira condição, derivamos então C ( x ) e R ( x ) e igualamos:

C x = 1450 + 36 x - x 2 + 0,001 x 3 ⇒ C ' x = 36 - 2 x + 0,003 x 2

R x = 60 x - 0,01 x 2 ⇒ R ' x = 60 - 0,02 x

Igualando as derivadas:

C ' x = R ' x ⇒ 36 - 2 x + 0,003 x 2 = 60 - 0,02 x

⇒ 0,003 x 2 - 1,98 x - 24 = 0

Agora devemos resolver a equação de segundo grau, para x positivo:

Δ = b 2 - 4 a c = - 1,98 2 - 4 0,003 - 24 = 4,208

x = - b ± Δ 2 a = 1,98 ± 4,208 0,006 = 1,98 ± 2,05 0,006

O resultado positivo é:

x ≈ 672   u n i d a d e s

Passo 3

Devemos cumprir a segunda condição para que esse seja de fato o lucro máximo. Derivando novamente as duas funções:

C ' x = 36 - 2 x + 0,003 x 2 ⇒ C ' ' x = - 2 + 0,006 x

R ' x = 60 - 0,02 x ⇒ R ' ' x = - 0,02

Para x = 672 , podemos ver que temos de fato:

C ' ' 672 = - 2 + 0,006 672 = 2,032

R ' ' 672 = - 0,02

⇒ R ' ' 672 < C ' ' ( 672 )

Então x = 672 maximiza o lucro.

Resposta

x = 672   u n i d a d e s

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