Faça o gráfico da curva y = x \* raiz(4 - x^2)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos dizer.

f ( x ) =   x 4 - x 2

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde - 2 ≤ x ≤ 2 , pois qualquer valor fora desse intervalo ocasionaria em uma raiz quadrada negativa, que é algo que não existe no conjunto dos números Reais .

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está presa no intervalo [ - 2,2 ] .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0   e x = ± 2 temos que , f x = 0 , ou seja,

f 0 = 0 4 - 0 2 = 0 4 - 0 = 0 4 = 0

E,

f 2 = 2 4 - 2 2 = 2 4 - 4 = 2 0 = 2.0 = 0  

Além disso,

f - 2 = - 2 4 - - 2 2 = - 2 4 - 4 = - 2 0 = - 2.0 = 0  

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x três vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Utilizando o fato de 4 - x 2 = 4 - x 2 1 / 2 e pela regra do produto teremos,

f ' x = 1 . 4 - x 2 1 2 + x .   1 2 . 4 - x 2 1 2 - 1

= 4 - x 2 1 2 + x 2 . 4 - x 2 -   1 2   ( - 2 x )

= 4 - x 2 1 2 - x 2 . 4 - x 2 -   1 2  

= 4 - x 2 1 2 - x 2 4 - x 2   1 2  

= ( 4 - x 2 ) - x 2 4 - x 2   1 2  

= 4 - 2 x 2 4 - x 2   1 2  

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente

f ' ' x = - 4 x 4 - x 2   1 2 - ( 4 - 2 x 2 ) ( 1 2 ( 4 - x 2 - 1 2 ( - 2 x ) ) ) 4 - x 2   1 2   2

= - 4 x 4 - x 2   1 2 - ( 4 - 2 x 2 ) ( 1 2 ( 4 - x 2 - 1 2 . ( - 2 x ) ) ) 4 - x 2

= - 4 x 4 - x 2   1 2 - ( 4 - 2 x 2 ) ( - x 4 - x 2 - 1 2 ) 4 - x 2

= - 4 x 4 - x 2   1 2 + 4 - 2 x 2 x 4 - x 2 1 2 4 - x 2

= - 4 x 4 - x 2   1 2 + 4 - 2 x 2 x 4 - x 2 1 2 4 - x 2

= - 4 x 4 - x 2   1 2 + 4 - 2 x 2 x 4 - x 2 1 2 . 1 4 - x 2

= - 4 x 4 - x 2   1 2 4 - x 2 + x 4 - x 2 1 2

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = 4 - 2 x 2 4 - x 2   1 2   = 0

4 - 2 x 2 = 0

4 = 2 x 2

x = ± 2

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )     x = 2   , f ( x ) assume valores negativos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 2 , 2 ) , isso pois o domínio da função está limitado ao intervalo - 2,2   .   Assim, x = 2 , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = 2 é um ponto de máximo no intervalo de ( 0,2 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( - 2 , 2 )     x = - 2   , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( - 2 , 0 )     isso pois o domínio da função está limitado ao intervalo - 2,2   .   Assim, x = - 2 , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = - 2 é um ponto de mínimo no intervalo de ( - 2,0 ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = - 4 x 4 - x 2   1 2 4 - x 2 + x 4 - x 2 1 2 = 0

4 x 4 - x 2   1 2 4 - x 2 = x 4 - x 2 1 2

4 x 4 - x 2   4 - x 2 = x

4 x = x

3 x = 0

x = 0

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - 2 , 0 )     x = 0 , f ( x ) assume valores positivos (concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , 2 )     x = 0     , f ( x ) irá assumir valores negativos (concavidade baixo ). Logo, x = 0 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - 2 , 2 ) .

Sendo assim, x = 0     é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

Sabemos que para encontrar assíntotas horizontais temos de calcular o limite de f x   quando x → ± ∞ , ou seja, quando x atinge valores muuuito altos (positivos ou negativos), porém, quando analisamos no domínio da f , vemos que ela está limitada dentro do intervalo [ - 2,2 ] . Sendo assim, calcular o lim x → ±  ∞ ⁡ f x

Seria algo redundante, já que essa função só pode percorrer o intervalo de   [ - 2,2 ] .

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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