Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial.

x 2 4 - x 2 = 4 x 2 + 1

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = x 2 4 - x 2 - 4 x 2 + 1

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, o da função constante, da cadeia, do produto e do polinômio:

c ' = 0

F ' x = f ' g x . g ' x

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 2 4 - x 2 - 4 x 2 + 1 ' = x 2 4 - x 2 - 4 x 2 + 1 - 1 ' = 2 x 2 - 1 4 - x 2 + x 2 0 - 2 x 2 - 1 - 4 . - 1 . x 2 + 1 - 1 - 1 . 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x 4 - x 2 - 2 x 3 + 8 x x 2 + 1 2 = 8 x - 4 x 3 + 8 x x 2 + 1 2

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 2 4 - x n 2 - 4 x n 2 + 1 8 x n - 4 x n 3 + 8 x n x n 2 + 1 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace ter pontos de intersecção em x = ± 0,8 e x = ± 1,9 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

Primeiro para x 1 = 0,8 :

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 4 - x 1 2 - 4 x 1 2 + 1 8 x 1 - 4 x 1 3 + 8 x 1 x 1 2 + 1 2 ≈ 0,84287645

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 4 - x 2 2 - 4 x 2 2 + 1 8 x 2 - 4 x 2 3 + 8 x 2 x 2 2 + 1 2 ≈ 0,84310820

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 4 - x 3 2 - 4 x 3 2 + 1 8 x 3 - 4 x 3 3 + 8 x 3 x 3 2 + 1 2 ≈ 0,84310281

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 2 4 - x 4 2 - 4 x 4 2 + 1 8 x 4 - 4 x 4 3 + 8 x 4 x 4 2 + 1 2 ≈ 0,84310281

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,84310281 .

Passo 4

Agora com x 1 = 1,9 , sei que é cansativo mas vamos lá:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 4 - x 1 2 - 4 x 1 2 + 1 8 x 1 - 4 x 1 3 + 8 x 1 x 1 2 + 1 2 ≈ 1,94689103

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 4 - x 2 2 - 4 x 2 2 + 1 8 x 2 - 4 x 2 3 + 8 x 2 x 2 2 + 1 2 ≈ 1,94383891

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 4 - x 3 2 - 4 x 3 2 + 1 8 x 3 - 4 x 3 3 + 8 x 3 x 3 2 + 1 2 ≈ 1,94382538

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 2 4 - x 4 2 - 4 x 4 2 + 1 8 x 4 - 4 x 4 3 + 8 x 4 x 4 2 + 1 2 ≈ 1,94382538

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 1,94382538 .

Resposta

As raizes da equação são ± 0,84310281 e ± 1,94382538 .

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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