Calcule a integral

∫ s i n 3 x c o s x d x  

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica

sin ⁡ A cos ⁡ B = 1 2 sin ⁡ A - B + sin ⁡ A + B

Então, substituindo na integral, ficamos com

∫ s i n 3 x c o s x d x = ∫ 1 2 sin ⁡ 3 x - x + sin ⁡ 3 x + x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ 2 x + sin ⁡ 4 x d x

Podemos separar esta integral em duas da seguinte forma

1 2 ∫ sin ⁡ 2 x + sin ⁡ 4 x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ sin ⁡ 4 x d x

Passo 2

Vamos calcular cada integral separadamente.

Calculando a primeira

∫ sin ⁡ 2 x d x

Seja u = 2 x , temos que d u / 2 = d x . Substituindo

∫ sin ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ u d u = - 1 2 cos ⁡ u = - 1 2 cos ⁡ 2 x + c 1

Calculando a segunda

∫ sin ⁡ 4 x d x

De forma análoga a primeira

∫ sin ⁡ 4 x d x = - 1 4 cos ⁡ 4 x + c 2

Passo 3

Agora, podemos substituir o que encontramos

1 2 ∫ sin ⁡ 2 x d x + 1 2 ∫ sin ⁡ 4 x d x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x + c 1 + 1 2 - 1 4 cos ⁡ 4 x + c 2 = - 1 4 cos ⁡ 2 x - 1 8 cos ⁡ 4 x + k

Note que uma constante somada com outra constante resulta em uma outra constante, a qual chamei de k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ s i n 3 x c o s x d x = - 1 4 cos ⁡ 2 x - 1 8 cos ⁡ 4 x + k

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